Forsing

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model ${\displaystyle M}$ teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin ${\displaystyle N}$ rozšiřující ${\displaystyle M}$, tj. ${\displaystyle M\subseteq N}$. V této situaci mohou existovat prvky modelu ${\displaystyle N}$, které nejsou prvky ${\displaystyle M}$, ale jsou podmnožinami ${\displaystyle M}$, tj. taková ${\displaystyle x}$, že ${\displaystyle x\in N\setminus M}$ a ${\displaystyle x\subseteq M}$ (taková x jsou pak „polomnožinami“ v ${\displaystyle M}$). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model ${\displaystyle M[G]}$ ležící mezi ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle N}$, tj. takový, který obsahuje všechny prvky ${\displaystyle M}$ a navíc i některé podmnožiny ${\displaystyle M}$, které v ${\displaystyle M}$ neleží, ale leží v ${\displaystyle N}$.

Myšlenku konstrukce modelu ${\displaystyle M[G]}$ lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny ${\displaystyle M}$, které v novém modelu ${\displaystyle M[G]}$ mají být, lze ohodnotit číslem ${\displaystyle 1}$ a zbylé množiny číslem ${\displaystyle 0}$. Protože však předem nevíme, které množiny musí v ${\displaystyle M[G]}$ být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry ${\displaystyle B\in M}$. Každé podmnožině M pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota ${\displaystyle b\in B}$, která určuje „míru“ jejího náležení do ${\displaystyle M[G]}$. Ty množiny, které do M[G] nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru ${\displaystyle G\in N}$ na ${\displaystyle B}$. Přesněji ${\displaystyle x\in M[G]}$ právě tehdy když je booleovská hodnota ${\displaystyle x}$ v ${\displaystyle G}$.

Pro sestrojení rozšíření ${\displaystyle M[G]}$ k danému modelu ${\displaystyle M}$ se používá technika booleovských jmen.