Chézyho rychlostní součinitel

Tyto vzorce mají standardní tvar

${\displaystyle C={\frac {1}{n}}{R^{y}}}$

kde ${\displaystyle R=S/O}$, ${\displaystyle R}$ je hydraulický poloměr [m], ${\displaystyle S}$ průtočná plocha [m²] a ${\displaystyle O}$ omočený obvod [m]. Exponent ${\displaystyle y}$ může být konstantou či funkcí určitých proměnných. Součinitel ${\displaystyle n}$ je tzv. součinitel drsnosti (v angloamerické literatuře též často nazýván Manningův součinitel drsnosti), vyjadřující hydraulické odpory koryta.

Typickým představitelem je Chézyho součinitel podle Manninga, kde ${\displaystyle y=1/6}$. Podrobné pojednání o vzniku Manningovy rovnice viz[3]. Další výzkumníci došli k hodnotám ${\displaystyle y=1/5}$ (Forchheimer) a ${\displaystyle y=1/4}$ (Lacey)[4],[2]

Sovětský akademik Pavlovskij odvodil ve 30. letech 20 stol. svůj v Sovětském svazu i u nás velmi rozšířený vztah[5]

${\displaystyle y=2,5\surd n-0,13-0,75\surd R(\surd n-0,10)}$

Literatura uvádí dvě možná zjednodušení tohoto poměrně složitého vztahu, která navrhl jeho autor, a to jednak z hlediska hydraulického poloměru (viz např.[6],[7]):

${\displaystyle y=1,5\surd n}$ pro ${\displaystyle R\leqq 1}$ m

${\displaystyle y=1,3\surd n}$ pro ${\displaystyle R>1}$ m

jednak z hlediska velikosti součinitele drsnosti ${\displaystyle n}$ (viz[7]):

${\displaystyle y=1/6}$ pro ${\displaystyle 0,010\leqq n<0,015}$

${\displaystyle y=1/5}$ pro ${\displaystyle 0,015\leqq n<0,025}$

${\displaystyle y=1/4}$ pro ${\displaystyle n\geqq 0,025}$,

Se zvyšujícím se součinitelem drsnosti vlastně rychlostní součinitel podle Manninga přechází v součinitel podle Forchheimera a posléze podle Laceye.

Libý[8] na základě vlastních experimentů doporučuje další možné zjednodušení Pavlovského vzorce pro vyšší drsnosti:

${\displaystyle y=1,6{\sqrt {n}}}$ pro ${\displaystyle n\geqq 0,025}$.

Pavlovského vzorec je sovětskou i starší tuzemskou literaturou považován za nejpřesnější. Pavlovskij udává jeho platnost v mezích ${\displaystyle R\in \langle 0,1;3\rangle }$ [m] a ${\displaystyle n\in \langle 0,011;0,040\rangle }$, avšak obecně se udává, že platí v mezích podstatně širších (které ale zřejmě nejsou v žádné literatuře specifikovány).

Sribný (viz[9]) udává vztah mezi exponentemn ${\displaystyle y}$ a součinitelem drsnosti tabelárně:

Mattas[2] tuto tabulku aproximoval rovnicí

${\displaystyle y=1,072n^{0,462}}$.

Chen[10] Uvedl do vztahu hodnotu exponentu ${\displaystyle y}$ a relativní absolutní drsnosti ${\displaystyle R/k}$ kde ${\displaystyle R}$ [m] je hydraulický poloměr a ${\displaystyle k}$ [m] je absolutní drsnost koryta. Ve své práci uvádí tabulku závislosti ${\displaystyle y=f(R/k)}$, kde udává i rozmezí relativní absolutní drsnosti, v níž daný exponent platí. Překryv udávaných rozmezí relativní absolutní drsnosti je však tak velký, že lze volit téměř libovolnou hodnotu exponentu:

Z provedené analýzy (viz[2]) vyplývá, že pro větší hydraulické poloměry (ca ${\displaystyle R>0,5}$ [m]) jsou rozdíly mezi jednotlivými výše uvedenými vztahy relativně přijatelné, poněkud vybočuje vztah Manningův, který rychlostní součinitel poněkud podhodnocuje. Pro malé hydraulické poloměry je rozptyl výsledků větší a se zmenšováním hydraulického poloměru se zvětšuje.

Logaritmický tvar Chézyho rychlostního součinitele je považován za nejsprávnější a je teoreticky nejlépe podložen. Z Prandtl-Kármánova zákona rozdělení rychlosti lze odvodit výraz pro součinitel ztráty třením v obecném tvaru Colebrook-Whiteovy rovnice:[5]

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\lambda }}}=c\log {aR \over k_{s}}}$

kde ${\displaystyle \lambda }$ je součinitel ztráty třením, ${\displaystyle c}$ je konstanta, ${\displaystyle c=2,03}$ je převod z přirozeného logaritmu na dekadický, většina autorů zaokrouhluje na 2,00, ${\displaystyle R}$ [m] je hydraulický poloměr a ${\displaystyle k_{s}}$ [m] absolutní, resp. ekvivalentní písková drsnost, která se obvykle nahrazuje některým charakteristickým zrnem (např. ${\displaystyle d_{ef},d_{50},d_{84}}$) substrátu dna. V některých případech je hydraulický poloměr nahrazen střední hloubkou. Protože platí jednoduchý vztah[5]

${\displaystyle {\sqrt {8 \over \lambda }}={C \over {\sqrt {g}}}}$,

lze Colebrook-Whiteovu rovnici snadno převést na výraz pro určení Chézyho rychlostního součinitele (viz např.[5],[2]):

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}\log {{aR} \over k_{s}}=4{\sqrt {2g}}{\biggl (}\log R+\log {a \over k_{s}}{\biggr )}=4{\sqrt {2g}}{\biggl (}\log {R \over k_{s}}+\log a{\biggr )}}$

U nás býval doporučován výraz, odvozený Agroskinem na základě výsledků experimentů Zegždy, ve tvaru:[6]

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}(\log R+k_{a})}$

kde ${\displaystyle k_{a}}$ je tzv. součinitel hladkosti,

${\displaystyle k_{a}=\log {{2A} \over \Delta }}$

kde ${\displaystyle A}$ je konstanta a ${\displaystyle \Delta }$ velikost výstupků stěny. Agroskin však místo použití parametru ${\displaystyle \Delta }$ vyšel z mocninných vztahů pro Chézyho rychlostní součinitel, z nichž odvodil vztah

${\displaystyle k_{a}={{0,05643} \over n}}$

kde ${\displaystyle n}$ je součinitel drsnosti, čímž však popřel výhodnost svého jinak teoreticky dobře podloženého vzorce.

Bretting odvodil podobný vztah[9]

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}{\biggl (}\log {R \over d}+A'{\biggr )}}$

kde ${\displaystyle d}$ je efektivní zrno (též střední) a konstanta ${\displaystyle A'=1,171}$. Obdobný vztah odvodil na základě řady měření na našich vodních tocích Martinec[11] (tzv. "vzorec VÚV") s hodnotou ${\displaystyle A'=0,77}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$. S ohledem na značně problematický způsob určení padesátiprocentního kvantilu křivky zrnitosti (v některých případech Martinec uvádí jako způsob určení dokonce i jen odborný odhad) který zrnitosti evidentně podhodnocoval,[12] tento vzorec ve srovnání s ostatními značně vybočuje, a dává podstatně vyšší hodnoty Chézyho rychlostního součinitele (viz[2]). Mattas určil na základě souboru více než 600 měření (vlastních i v literatuře publikovaných) na tocích vyšších gradientů s hrubozrnným substrátem ${\displaystyle A'=0,41}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$, resp.${\displaystyle A'=0,72}$ pro ${\displaystyle d=d_{84}}$.[13]

Pro hrubozrnný materiál dna např. udávají Leopold, Wollman a Miller (citace viz[14])

${\displaystyle C=2,03\centerdot 2{\sqrt {2g}}\log {{3,11h} \over {d_{84}}}}$

kde ${\displaystyle h}$ je střední hloubka vody. Limerinos (ibid) odvodil konstantu ${\displaystyle a=1,49}$ pro ${\displaystyle d=d_{50}}$, resp. ${\displaystyle a=3,72}$ pro ${\displaystyle d=d_{84}}$ a ve vzorci používá místo střední hloubky hydraulický radius ${\displaystyle R}$.

Za nejspolehlivější vztah logaritmického typu se považuje vzorec Heye[14]

${\displaystyle C=4{\sqrt {2g}}\log {{a'R} \over {3,5d_{84}}}}$

kde parametr ${\displaystyle a'}$ se určí z Bathurstova vztahu (ibid)

${\displaystyle a'=11,1{\biggl (}{R \over h_{max}}{\biggr )}}$

kde ${\displaystyle h_{max}}$ je délka normály k omočenému obvodu, procházející místem maximální místní (bodové) rychlosti.