Rozdělení rychlosti

Rozdělení rychlosti po průměru potrubí nebo po svislici v případě otevřeného koryta je v hydrologii zajímavé z mnoha teoretických i praktických důvodů (např. měření průtoků, vodní stroje a pod.). První návrhy rozdělení byly založeny na čisté empirii (přehled k počátku 20. stol. viz [1]), s rozvojem teoretických znalostí bylo odvozeno několik typů rozdělení rychlosti. Je zajímavé, že se jedná o typy, které byly navrženy na empirickém základě. Nejběžnější je rozdělení logaritmické, považované za teoreticky nejlépe podložené, a rozdělení mocninné (též parabolické)[2], jejichž výhodou je jednoduchost. V literatuře lze nalézt ještě několik dalších[3], která se však téměř nepoužívají.

Logaritmické rozdělení

Podle všeobecně přijímané Prandtlovy hypotézy je tangenciální napětí [Pa] v libovolném bodu proudu rovno

kde [kgm−3] je hustota kapaliny, tzv. směšovací délka, kde [-] je tzv. Kármánova univerzální konstanta turbulence a [m] vzdálenost bodu od stěny potrubí, resp. výška uvažovaného bodu nade dnem, a [ms−1] časově střední rychlost v uvažovaném bodu.

Po dosazení a úpravě dostáváme

kde [ms−1] je tzv. třecí rychlost. Integrací této rovnice získáme tzv. Prandtl-Kármánův univerzální zákon rozdělení rychlosti

kde , resp. [-] je integrační konstanta. Pro hydraulicky drsné koryto rozdělení rychlosti závisí jen na absolutní drsnosti [m] a integrační konstanta pak je [4] a výsledný vztah tedy je

.

Podle Nikuradseho (viz [5]) je pro pískovou drsnost zhruba a tedy , (pro ).

Prandtl-Kármánův vztah se též uvádí ve tvaru tzv. deficitu rychlosti jako

kde [ms−1] je maximální rychlost ve svislici a [m] je hloubka vody ve svislici.

Platnost Prandtl-Kármánova zákona není neomezená; další práce ukázaly, že je omezen jak zdola, tak shora. Zdola se při malých vzdálenostech od stěny uplatňuje vliv vazké podvrstvy, omezení platí pro

, podle jiných pramenů . Horní hranice platnosti logaritmického zákona je udávána[2] kde [m2s−1] je kinematická viskozita tekuiny.

Prandtl-Kármánův zákon byl odvozen pro potrubí, avšak jeho platnost se předpokládá i pro otevřená koryta; potvrzuje ji shoda s pokusy Zegždy v kanále s volnou hladinou a homogenní pískovou drsností (podrobně viz [6]).

Mocninné rozdělení rychlosti

Mocninné (parabolické) rozdělení rychlosti je velmi jednoduché, často se používá zejména v hydrometrii. Obvykle se uvádí ve tvaru[7][8]

kde [ms−1] je místní (bodová) rychlost ve výšce [m] nade dnem, [ms−1] je referenční místní rychlost ve výšce [m] nade dnem a [-] je konstanta, která závisí na vlastnostech koryta. Jako referenční výška se často uvažuje hloubka vody [m] ve svislici, takže referenční rychlost je pak [ms−1], resp. rychlost povrchová. Koeficient se pohybuje v rozmezí ca od koryt širokých drsných po koryta úzká hladká, s běžnými hodnotami pro přirozené toky . Přesněji může být hodnota podle Boitena určena ze vztahu[7]

kde je Chézyho rychlostní součinitel, nebo ze vztahu[9]

.

Yen[10] uvádí mocninný zákon v poněkiud jiné, pro teoretické úvahy vhodnější formě

kde [-] je konstanta.

Mocninné rozdělení - důsledky

Z vlastností parabolického rozdělení vyplývá několik zajímavostí, prakticky využívaných při hydromtrických měřeních. Snadno se dá odvodit, že střední svislicová rychlost

.

Protože maximální rychlost bývá blízko pod hladinou (teoreticky v hladině), lze povětšině uvažovat, že povrchová rychlost je rovna rychlosti maximální, . Podobně lze odvodit výšku nade dnem , v níž je místní rychlost právě rovna střední svislicové rychlosti :

kde [m] je hloubka vody ve svislici. Z těchto dvou vzorců byl vypočten jednak koeficient pro výpočet střední svislicové rychlosti z rychlosti maximální, resp. povrchové (t.j. ), jednak koeficient pro výpočet výšky bodu, v němž je rychlost právě rovna střední svislicové rychlosti, nade dnem (t.j.) pro různé hodnoty koeficientu a jsou uvedeny v následující tabulce

n 3 4 5 7 10 12
k1 0,750 0,800 0,833 0,875 0,909 0,923
k2 0,422 0,410 0,402 0,393 0,386 0,383

Z vlastností mocninného rozdělení tedy vyplývá teoretická opodstatněnost jednobodové metody určení střední svislicové rychlosti (viz hodnoty v nejběžnějším rozmezí hodnot , kde chyba je z praktického pohledu nevýznamná až zanedbatelná). Obdobně se dá ukázat i teoretická opodstatněnost metody dvoubodové. Koeficient může být s výhodou využit pro měření za zvláštních okolností (např. větší povodně), kdy z povrchové rychlosti (lze určit např. pomocí hladinových plováků nebo vhodným měřidlem) lze přepočítat rychlosti střední svislicové. Ve stabilním měrném profilu by měl tento koeficient být ověřen v rámci hydrometrických měření pro konstrukci a ověřování měrné křivky.

Je zajímavé, že zejména hodnoty koeficientu neobyčejně dobře souhlasí s hodnotami uváděnými Tolmanem[1] podle empirických poznatků starších autorů.

Rozdělení rychlostí napříč koryta

Rozdělení rychlostí ve svislici či na poloměru potrubí je teoreticky popsáno a zdůvodněno. Oproti tomu rozdělení svislicových rychlostí napříč koryta, resp. bodových rychlostí po příčném profilu, čeká na objasnění. Příčinou je celá řada obtížně zohlednitelných vlivů – variabilita drsnosti po omočeném obvodu, nepravidelnosti příčného profilu, sekundární příčné proudění aj.

Je známo, že rozdělení rychlostí napříč koryta závisí na jeho tvaru a mění se s vodním stavem, resp. průtokem [m3s−1]. Zatímco při nízkých vodních stavech je zejména v nepravidelném korytě rozdělení rychlostí napříč koryta taktéž značně nepravidelné, se zvyšujícím se vodním stavem se nepravidelnost rozdělení rychlostí snižuje.

Patočka[11] cituje Velikanova, podle kterého je střední svislicová rychlost v libovolné svislici úměrná odmocnině hloubky ,

kde je konstanta,

kde [m] je šířka koryta v hladině.

Chiu se spolupracovníky[12][13] se pokusil o simulaci rychlostního pole na bázi křivočaré souřadnicové sítě, avšak postup je značně složitý. Na druhou stranu výsledky jsou nadějné a metoda již byla několikrát použita.

Reference

  1. Tolman B. (1908): O pohybu vody v korytech otevřených. ČMT Praha
  2. Boor, B., Kunštátský, J. a Patočka, C. (1968): Hydraulika pro vodohospodářské stavby. SNTL/Alfa Praha/Bratislava
  3. Mattas, D. (2014): Výpočet průtoku v otevřených korytech. Práce a studie 205. VÚV T.G.M. Praha. ISBN 978-80-87402-27-6
  4. French, R.H. (1985): Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill
  5. Chow, Ven Te (1959): Open-Channel Hydraulics. McGraw-Hill
  6. Libý, J. (1977): Rychlostní součinitel C v Chézyho rovnici v otevřených korytech se zvýšenou drsností. Práce a studie 148. VÚV Praha
  7. Boiten, W. (2000): Hydrometry. IHE Delft Lecture Notes Series. A.A.Balkema, Rotterdam
  8. Železnjakov, G.V. (1976): Teorija gidrometrii. 2. vyd. Gidrometeoizdat, Leningrad
  9. ČSN EN ISO 748 Hydrometrie – Měření průtoku kapalin v otevřených korytech použitím vodoměrných vrtulí nebo plováků
  10. Yen, B.C. (1992): Hydraulic Resistance in Open Channels. In: Yen, B.C. (ed.): Channel Flow Resistance: Centennial of Manning's Formula. Water Res. Publ., Littleton CO
  11. Patočka, C. (1966): Hydraulika - 2. část. Skripta FSv ČVUT Praha
  12. Chiu, Chao-Lin, Lin, Hsin-Chi, and Mizumura, K. (1976): Simulation of Hydraulic Processes in Open Channels. JHD ASCE 102, HY2, pp. 185-206
  13. Chiu, Chao-Lin, Hsiung, D.E. and Lin, Hsin-Chi (1978):Three-Dimensional Open Channel Flow. JHD ASCE 104, HY8, pp. 1119-1136
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.