Rozdělení rychlosti

Podle všeobecně přijímané Prandtlovy hypotézy je tangenciální napětí ${\displaystyle \tau }$ [Pa] v libovolném bodu proudu rovno

${\displaystyle \tau =\rho l^{2}{\Bigl (}{du \over dy}{\Bigr )}^{2}}$

kde ${\displaystyle \rho }$ [kgm⁻³] je hustota kapaliny, ${\displaystyle l=\kappa y}$ tzv. směšovací délka, kde ${\displaystyle \kappa }$ [-] je tzv. Kármánova univerzální konstanta turbulence a ${\displaystyle y}$ [m] vzdálenost bodu od stěny potrubí, resp. výška uvažovaného bodu nade dnem, a ${\displaystyle u}$ [ms⁻¹] časově střední rychlost v uvažovaném bodu.

Po dosazení a úpravě dostáváme

${\displaystyle du={1 \over \kappa }{\sqrt {\tau \over \rho }}{dy \over y}={v_{*} \over \kappa }{dy \over y}}$

kde ${\displaystyle v_{*}}$ [ms⁻¹] je tzv. třecí rychlost. Integrací této rovnice získáme tzv. Prandtl-Kármánův univerzální zákon rozdělení rychlosti

${\displaystyle u={v_{*} \over \kappa }\ln {y \over K}={v_{*} \over \kappa }(\ln y+K_{1})}$

kde ${\displaystyle K}$, resp. ${\displaystyle K_{1}}$ [-] je integrační konstanta. Pro hydraulicky drsné koryto rozdělení rychlosti závisí jen na absolutní drsnosti ${\displaystyle k_{s}}$ [m] a integrační konstanta pak je ${\displaystyle K=mk_{s}}$[4] a výsledný vztah tedy je

${\displaystyle u={v_{*} \over \kappa }\ln {y \over {mk_{s}}}={v_{*} \over \kappa }{\Bigl (}\ln {y \over k_{s}}+A{\Bigr )}=v_{*}{\Bigl (}{1 \over \kappa }\ln {y \over k_{s}}+A_{1}{\Bigr )}}$.

Podle Nikuradseho (viz [5]) je pro pískovou drsnost zhruba ${\displaystyle m=1/30}$ a tedy ${\displaystyle A=3,4}$, ${\displaystyle A_{1}=8,5}$ (pro ${\displaystyle \kappa =0,4}$).

Prandtl-Kármánův vztah se též uvádí ve tvaru tzv. deficitu rychlosti jako

${\displaystyle {{u_{max}-u} \over v_{*}}={1 \over \kappa }\ln {h \over y}}$

kde ${\displaystyle u_{max}}$ [ms⁻¹] je maximální rychlost ve svislici a ${\displaystyle h}$ [m] je hloubka vody ve svislici.

Platnost Prandtl-Kármánova zákona není neomezená; další práce ukázaly, že je omezen jak zdola, tak shora. Zdola se při malých vzdálenostech od stěny uplatňuje vliv vazké podvrstvy, omezení platí pro

${\displaystyle {yv_{*} \over \nu }\leq 60}$, podle jiných pramenů ${\displaystyle {yv_{*} \over \nu }\leq 30}$. Horní hranice platnosti logaritmického zákona je udávána[2] ${\displaystyle {yv_{*} \over \nu }\geq 5.10^{3}}$ kde ${\displaystyle \nu }$ [m²s⁻¹] je kinematická viskozita tekuiny.

Prandtl-Kármánův zákon byl odvozen pro potrubí, avšak jeho platnost se předpokládá i pro otevřená koryta; potvrzuje ji shoda s pokusy Zegždy v kanále s volnou hladinou a homogenní pískovou drsností (podrobně viz [6]).

Mocninné (parabolické) rozdělení rychlosti je velmi jednoduché, často se používá zejména v hydrometrii. Obvykle se uvádí ve tvaru[7][8]

${\displaystyle {u \over u_{ref}}={\Bigl (}{y \over y_{ref}}{\Bigr )}^{1 \over n}}$

kde ${\displaystyle u}$ [ms⁻¹] je místní (bodová) rychlost ve výšce ${\displaystyle y}$ [m] nade dnem, ${\displaystyle u_{ref}}$ [ms⁻¹] je referenční místní rychlost ve výšce ${\displaystyle y_{ref}}$ [m] nade dnem a ${\displaystyle n}$ [-] je konstanta, která závisí na vlastnostech koryta. Jako referenční výška se často uvažuje hloubka vody ${\displaystyle h}$ [m] ve svislici, takže referenční rychlost je pak ${\displaystyle u_{max}}$ [ms⁻¹], resp. rychlost povrchová. Koeficient ${\displaystyle n}$ se pohybuje v rozmezí ca ${\displaystyle n=3-12}$ od koryt širokých drsných po koryta úzká hladká, s běžnými hodnotami pro přirozené toky ${\displaystyle n=5-7}$. Přesněji může být hodnota ${\displaystyle n}$ podle Boitena určena ze vztahu[7]

${\displaystyle n=1,77+0,098C}$

kde ${\displaystyle C}$ je Chézyho rychlostní součinitel, nebo ze vztahu[9]

${\displaystyle n={C \over {\sqrt {g}}}{\Bigl (}{2{\sqrt {g}} \over {{\sqrt {g}}+C}}+0,3{\Bigr )}}$.

Yen[10] uvádí mocninný zákon v poněkiud jiné, pro teoretické úvahy vhodnější formě

${\displaystyle {u \over v_{*}}=c{\Bigl (}{y \over k_{s}}{\Bigr )}^{1 \over n}}$

kde ${\displaystyle c}$ [-] je konstanta.

Rozdělení rychlostí ve svislici či na poloměru potrubí je teoreticky popsáno a zdůvodněno. Oproti tomu rozdělení svislicových rychlostí napříč koryta, resp. bodových rychlostí po příčném profilu, čeká na objasnění. Příčinou je celá řada obtížně zohlednitelných vlivů – variabilita drsnosti po omočeném obvodu, nepravidelnosti příčného profilu, sekundární příčné proudění aj.

Je známo, že rozdělení rychlostí napříč koryta závisí na jeho tvaru a mění se s vodním stavem, resp. průtokem ${\displaystyle Q}$ [m³s⁻¹]. Zatímco při nízkých vodních stavech je zejména v nepravidelném korytě rozdělení rychlostí napříč koryta taktéž značně nepravidelné, se zvyšujícím se vodním stavem se nepravidelnost rozdělení rychlostí snižuje.

Patočka[11] cituje Velikanova, podle kterého je střední svislicová rychlost v libovolné svislici úměrná odmocnině hloubky ${\displaystyle h}$,

${\displaystyle v_{s}=a{\sqrt {h}}}$

kde ${\displaystyle a}$ je konstanta,

${\displaystyle a={Q \over {\int _{0}^{B}h^{3/2}dB}}}$

kde ${\displaystyle B}$ [m] je šířka koryta v hladině.

Chiu se spolupracovníky[12][13] se pokusil o simulaci rychlostního pole na bázi křivočaré souřadnicové sítě, avšak postup je značně složitý. Na druhou stranu výsledky jsou nadějné a metoda již byla několikrát použita.