Bohrův model atomu

Pokud fotony, které lze pozorovat ve spektroskopických experimentech, vyzařuje elektron (a nikoliv jádro), pak ze zákona zachování energie bude foton mít energii rovnu rozdílu energie elektronu před vyzářením fotonu a po něm, tedy ${\displaystyle E_{foton}=E_{e}(t_{1})-E_{e}(t_{0}).}$ Použitím Rydbergovy formule a Einsteinova vzorce pro energii fotonu dostáváme

${\displaystyle E_{e}(t_{1})-E_{e}(t_{0})=E_{foton}=h\nu =hc{\frac {1}{\lambda }}=hcR_{\infty }\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)=hcR_{\infty }{\frac {1}{n_{1}^{2}}}-hcR_{\infty }{\frac {1}{n_{2}^{2}}}.}$

Protože na levé straně je rozdíl dvou energií a na pravé straně je rozdíl dvou členů (mající jednotku energie), nabízí se, že energii elektronu v atomu lze zapsat ve tvaru ${\displaystyle E_{e}=hcR_{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=E_{max}{\frac {1}{n^{2}}},}$ kde ${\displaystyle n}$ je celé číslo. To by znamenalo, že energie elektronu v atomovém obalu vodíku nemůže nabývat libovolných hodnot, ale pouze diskrétních hodnot.

Bohr, stejně jako před ním Rutherford, předpokládal, že interakce v atomu je výhradně elektrostatická a tedy, že vzájemná síla bude klesat s druhou mocninou vzdálenosti. Již Isaac Newton v případě gravitace, jejíž síla také klesá s druhou mocninou vzdálenosti, ukázal, že jediné možné stabilní dráhy, jsou kružnice nebo elipsy.

Stabilita v atomu lze popsat jako rovnováhu sil, tedy, aby se přitažlivá síla působící mezi jádrem a elektronem vykompenzovala s odstředivou silou působící na elektron, jež obíhá jádro. V nejjednodušším případě kružnicové dráhy to lze zapsat jako

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}=m{\frac {v^{2}}{r}}.}$

Energie elektronu je dána součtem kinetické a elektrostatické potenciální energie: ${\displaystyle E_{e}=E_{kin}+E_{pot}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}.}$ Použitím předchozí rovnice dostáváme

${\displaystyle E_{e}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-mv^{2}=-{\frac {1}{2}}mv^{2}.}$

Vyjádřením rychlosti dostáváme ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {-2E_{e}}{m}}}}$ a s použitím ${\displaystyle E_{e}=E_{max}{\frac {1}{n^{2}}}}$, získáme

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {-2E_{e}}{m}}}={\sqrt {\frac {-2E_{max}}{mn^{2}}}}={\frac {1}{n}}{\sqrt {\frac {-2E_{max}}{m}}}=v_{max}{\frac {1}{n}}.}$

Obdobně lze odvodit vztah pro vzdálenost elektronu od jádra. Z rovnosti elektrické a odstředivé síly lze vyjádřit ${\displaystyle r}$. Dosazením vztahu pro rychlost dostáváme

${\displaystyle r={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}mv^{2}}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}mv_{max}^{2}}}\cdot n^{2}=r_{min}n^{2}.}$

Dostáváme tedy, že elektron může obíhat po kružnicových drahách, přičemž vzdálenost elektronu od jádra nemůže být libovolná. Vyzáření nebo pohlcení fotonu způsobí, že elektron přeskočí na jinou kružnici (hladinu).

Energie, rychlost i poloměr dráhy elektronu v elektronovém obalu atomu nemohou nabývat libovolné hodnoty a jsou diskrétní. Odvozené vztahy jsou

${\displaystyle E(n)=E_{max}\cdot {\frac {1}{n^{2}}},\ \ v(n)=v_{max}\cdot {\frac {1}{n}},\ \ r(n)=r_{min}\cdot n^{2}}$.

Vzniká tedy otázka, pro jakou veličinu ${\displaystyle q}$ je rozložení hodnot rovnoměrné, tedy ve tvaru ${\displaystyle q(n)=q_{min}\cdot n.}$

Veličina ${\displaystyle q(n)=r(n)^{a}\cdot v(n)^{b}}$ lze vyjádřit jako

${\displaystyle q(n)=\left(r_{min}\cdot n^{2}\right)^{a}\cdot \left(v_{max}\cdot {\frac {1}{n}}\right)^{b}=r_{min}^{a}\cdot v_{max}^{b}\cdot n^{2a-b}=q_{min}\cdot n^{2a-b}.}$

a rozměr této veličiny bude ${\displaystyle m^{a}(m\cdot s^{-1})^{b}=m^{a+b}s^{-b}}$. Požadujeme-li, aby ${\displaystyle q(n)=q_{min}\cdot n}$, pak požadujeme ${\displaystyle 2a-b=1}$. Tehdy lze rozměr veličiny lze zapsat jako

${\displaystyle m^{a+b}\cdot s^{-b}=m^{a+2a-1}\cdot s^{1-2a}=m^{3a-1}\cdot s^{1-2a}}$.

Postupným dosazováním hodnot ${\displaystyle a}$ do předchozího vzorce dostáváme jednotky veličin, které lze zapsat ve tvaru ${\displaystyle q(n)=q_{min}\cdot n.}$.

Jsou to m⁻⁴·s³, m⁻¹.s, m²·s⁻¹, m⁵·s⁻³, atd. Protože pro veličiny se čtvrtou a vyšší mocninou délky nejsou názorné fyzikální veličiny, má smysl studovat pouze m⁻¹.s a m²·s⁻¹. První jednotka je jednotkou převrácené rychlosti, druhá je podílem momentu hybnosti a hmotnosti. Protože hmotnost není závislá na parametru ${\displaystyle n}$, lze říci, že moment hybnosti lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle L(n)=L_{min}\cdot n}$.

Třetí postulát je tedy z historického pohledu důsledkem požadavků, aby nový model atomu vodíku byl stabilní a uměl vysvětlit čárové spektrum vodíku.