Číselná posloupnost

U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:

• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je rostoucí, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}<a_{n+1}}$
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je nerostoucí, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je klesající, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je neklesající, právě když pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$

Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je shora omezená, právě když existuje reálné číslo ${\displaystyle h}$ takové,že pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\leq h}$.
• Posloupnost ${\displaystyle \left[{a_{n}}\right]_{n=1}^{\infty }}$ je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo ${\displaystyle d}$ takové,že pro všechna ${\displaystyle n}$ z množiny N je ${\displaystyle a_{n}\geq d}$.
• Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.

Konečná posloupnost délky ${\displaystyle n}$ je

• čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost ${\displaystyle (a_{1},a_{i})}$ je rostoucí a ${\displaystyle (a_{i},a_{n})}$ je klesající[1]
• bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti[2]

Jestliže se v libovolně malém ${\displaystyle \varepsilon }$-okolí bodu d, tzn. v intervalu ${\displaystyle (d-\varepsilon ,d+\varepsilon )}$, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$, pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$.

Říkáme, že posloupnost

• konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. ${\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots }$ konverguje k 0),
• diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. ${\displaystyle 1,2,3,\ldots }$ diverguje k ${\displaystyle \infty }$), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. ${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }$).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Je-li ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ posloupnost (obecně reálných) čísel a ${\displaystyle (k_{n})_{n=1}^{\infty }}$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz ${\displaystyle (a_{k_{n}})_{n=1}^{\infty }}$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z ${\displaystyle a_{n}}$ (jinými slovy, z ${\displaystyle a_{n}}$ vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.