Fareyova posloupnost

Fareyova posloupnost řádu n je posloupnost zlomků mezi 0 a 1, které jsou jednak v základním tvaru, a které mají ve jmenovateli číslo menší nebo rovné n. Například pro n=5 tedy vypadá takto:

F₅ = {⁰⁄₁, ¹⁄₅, ¹⁄₄, ¹⁄₃, ²⁄₅, ¹⁄₂, ³⁄₅, ²⁄₃, ³⁄₄, ⁴⁄₅, ¹⁄₁}

Je pojmenována po britském geologovi Johnu Fareyovi st., který si všiml, že nové členy v posloupnosti F_n lze získat z řady F_n-1 jako medián dvou sousedních členů. Důkaz tohoto pozorování však podal až Cauchy.

Vlastnosti

Délka

Máme-li k dispozici Eulerovu funkci φ, můžeme délku n-té Fareyovy posloupnosti snadno vyjádřit jako

|F_{n}|=|F_{n-1}|+\phi (n).

Asymptoticky lze velikost n-tého prvku posloupnosti odhadnout jako

|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Fareyova posloupnost na Wikimedia Commons
Druhá kapitola skript Martina Klazara, Kaleidoskop teorie čísel

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.