Husté uspořádání

Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek ${\displaystyle (\forall x,y\in A)(\exists z\in A)(x<_{R}z<_{R}y)\,\!}$

Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací ${\displaystyle <\,\!}$, pak

• množina ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ všech reálných čísel je hustě uspořádaná
• každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný
• množina ${\displaystyle \mathbb {Q} \,\!}$ všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval
• množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo

Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s ${\displaystyle \mathbb {Q} \,\!}$, jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:

Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s ${\displaystyle \mathbb {Q} \,\!}$.

• Lineární uspořádání
• Dedekindův řez
• Hustá množina