Vektorový súčin

Vektorový súčin vektorov ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

• ${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} }$ - používaný vo frankofónnych krajinách
• ${\displaystyle [\mathbf {a} \mathbf {b} ]}$ - používaný v Rusku
• ${\displaystyle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ]}$

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }$

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }$, tak zložky vektora c možno určiť ako

${\displaystyle c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}$

${\displaystyle c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}$

${\displaystyle c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

${\displaystyle c_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}$

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

${\displaystyle d_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}}$

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

${\displaystyle d_{23}=-d_{32}=c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}}$

${\displaystyle d_{31}=-d_{13}=c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}$

${\displaystyle d_{12}=-d_{21}=c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$

${\displaystyle d_{11}=d_{22}=d_{33}=0}$

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

• Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u} }$

• Vynásobením vektorového súčinu číslom a dostaneme

${\displaystyle a(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=(a\mathbf {u} )\times \mathbf {v} =\mathbf {u} \times (a\mathbf {v} )}$

• Platí distributívny zákon

${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {w} }$

• Ak pre dva nenulové vektory ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ je ich vektorový súčin nulový, čiže ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$, sú vektory ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$ rovnobežné.

• Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} }$

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} }$

• V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}$

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a₁, a₂, a₃]

a

b = [b₁, b₂, b₃].

Potom

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily ${\displaystyle \mathbf {M} }$, ktorý je definovaný ${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ kde ${\displaystyle \mathbf {r} }$ je polohový vektor pôsobiska sily.

• http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf Vektorový súčin