Determinant (matematika)
Determinant je multilineárne zobrazenie, ktoré každej reálnej (resp. komplexnej) štvorcovej matici priraďuje jedno reálne (resp. komplexné) číslo.
Značenie
Determinant matice značíme v skrátenej forme, ktorá nešpecifikuje jej jednotlivé prvky nasledovným spôsobom:
V prípade explicitného vyjadrenia jednotlivých prvkov matice používame nasledujúce značenie:
- ,
Ďalším zaužívaným spôsobom je nasledujúce označenie:
- .
Definícia determinantu
Všeobecná definícia
Pre ľubovoľnú reálnu alebo komplexnú maticu rozmeru definujeme determinant nasledujúcim predpisom (nazývaným tiež Leibnizova formula):
Znak znamená sumu cez všetky permutácie čísel . Znakom označujeme znamienko permutácie . Znamienko permutácie nadobúda hodnotu +1 pre párne permutácie a −1 pre nepárne permutácie. Z dôvodu sčítania cez všetky permutácie čísel sa v Leibnitzovej formule vyskytuje sčítancov (každý zodpovedá práve jednej permutácii). V praxi sa preto pre matice vyšších rádov používajú rôzne výpočetné algoritmy.
Hore uvedená definícia sa veľakrát prepisuje pomocou všeobecného Levi-Civitovho symbolu :
Matica rádu 1
Matica rádu jedna (teda rozmeru 1×1) pozostáva z jediného čísla . Determinant matice prvého rádu je preto rovný práve tomuto prvku:
Matica rádu 2
Pre maticu rádu dva (teda rozmeru 2×2) vedie obecná definícia k nasledujúcemu vzorcu:
Matica rádu 3
Maticu rádu tri (teda rozmeru 3×3) je možné indexovať troma číslami: 1, 2 a 3. Výsledný vzorec bude preto obsahovať šesť sčítancov, pretože podľa definície sumujeme cez všetky permutácie takýchto indexov:
Vhodnou mnemotechnickou pomôckou pre výpočty podľa vyššie uvedeného vzorca sa ukazuje byť takzvané Sarrusovo pravidlo.
Výpočet determinantu
Determinant môžeme vypočítať viacerými spôsobmi.
Sarrusovo pravidlo
Sarrusovo pravidlo má viacero podôb. Všeobecne (a najčastejšie) sa využíva pre počítanie determinantu matíc typu 3 x 3.
Postup: K matici pripíšeme na pravú stranu ešte raz jej prvý a druhý stĺpec v tomto poradí. Potom vyrátame všetky diagonálne súčiny, ktoré majú po tri činitele. Spolu je takýchto súčinov šesť. Výslednú sumu tvorí súčet týchto šiestich súčinov, pričom zo znamienkom "+" sú tie tri z nich, ktoré sú rovnobežné s hlavnou diagonálou, so znamienkom "-" sú zvyšné tri z nich, tj. tie, ktoré sú rovnobežné s vedľajšou diagonálou.
Názorná schéma:
Teda:
Laplaceova veta o rozvoji determinantu podľa jedného riadka, resp. stĺpca
Majme štvorcovú maticu . Potom pre každé existuje nasledujúce vyjadrenie rozvoja determinantu matice A podľa t-teho riadka:
pričom matica je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním t-teho riadka a k-teho stĺpca. Analogicky sa dá odvodiť vzorec pre rozvoj determinantu podľa t-teho stĺpca:
pričom matica je matica, ktorá vznikne z matice A vynechaním k-teho riadka a t-teho stĺpca.
Všeobecná Laplaceova veta o rozvoji determinantu
Nech je daná matica . Pevne zvoľme čísla (kde k je ľubovoľné, pevne zvolené číslo z množiny {1, ..., n - 1}) také, že: .
Potom:
kde:
- je podmatica matice typu k x k, ktorá je tvorená prvkami ležiacimi na priesečníkoch riadkov s indexami a stĺpcov s indexami (pričom platí: ).
- je matica typu (n-k) x (n-k), ktorá je vytvorená z matice A vynechaním riadkov s indexami a stĺpcov s indexami
- Algebrický doplnok determinantu je prvok takéhoto tvaru:
Základné vlastnosti determinantov
- Pre každú štvorcovú maticu platí, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matici, teda
- Ak matica B vznikne z matice vzájomnou výmenou dvoch riadkov (resp. vzájomnou výmenou dvoch stĺpcov), potom determinant výslednej matice B sa rovná zápornej hodnote determinantu matice A, teda
- Nech je štvorcová matica stupňa n nad daným poľom R. Potom pre každé existuje algebrický doplnok a má tvar:
pričom je štvorcová matica typu , ktorá vznikne z matice A vynechaním r-tého riadka a s-tého stĺpca.
- Ak matica () má dva riadky (resp. dva stĺpce) rovnaké, tak:
- Ak matica B vznikne z matice tak, že jeden riadok (resp. jeden stĺpec) v A vynásobíme , tak:
- Nech sú dané dve matice: , . Ak sa tieto dve matice líšia len v niektorom k-tom riadku, pre niektoré , tak potom platí:
- Ak je v matici aspoň jeden riadok (resp. stĺpec) nulový tak platí:
- Majme maticu , (). Ak matica B vznikne z matice A prirátaním -násobku () hociktorého riadka (resp. stĺpca) k inému riadku (resp. stĺpcu) v A. Potom platí:
Pozri aj
Literatúra
- KORBAŠ, Július. Lineárna algebra a geometria I. [s.l.] : Vydavateľstvo U, Univerzita Komenského v Bratislave, Prvé vydanie, 2003.
Externé odkazy
- Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikácia, ktorá vypočíta determinant z matice rádu 2-8
- Determinant (matematika)