Vektorový priestor

Vektorový priestor (niekedy sa používa aj pomenovanie lineárny priestor) je abstraktný pojem, ktorý má mnohé použitia v matematike. Je predmetom skúmania algebraickej disciplíny lineárna algebra.

"Vektory" nemusia byť vektormi tak, ako ich chápeme v geometrii, môže to byť ľubovoľný matematický objekt spĺňajúci nasledujúce axiómy vektorového priestoru; napríklad polynómy stupňa ≤n s reálnymi koeficientami z vektorového priestoru.

Definícia

Nech F je pole. Nech V je množina, na ktorej je daná binárna operácia "+", a nech je každému $c\in F$ , $\alpha \in V$ priradený prvok $c.a\in V$ , pričom:

1)

(V,+)

je komutatívna grupa

pre ľubovoľné $\alpha$ , $\beta$ $\in$ V a c,d $\in$ F platí:

2)

c.(\alpha +\beta )=c.\alpha +c.\beta

(distributívny zákon)

3)

(c+d).\alpha =c.\alpha +d.\alpha

4)

(c.d).\alpha =c(d.\alpha )

(asociativita)

5)

1.\alpha =\alpha

potom $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ .

Vektorové priestory vo fyzike

Bra-Ket formalizmus

Vektory $\mid \alpha _{i}\rangle$ tvoria vektorový priestor (alebo lineárny priestor), ak ich ľubovoľná lineárna kombinácia

$\sum _{i}\lambda _{i}\mid \alpha _{i}\rangle$

patrí taktiež do tohoto priestoru.

Pri aplikáciách v kvantovej mechanike môžu byť koeficienty $\lambda _{i}$ komplexné čísla. Priestoru ket-vektorov je antilineárne priradený duálny priestor bra-vektorov:

$\sum _{i}\lambda _{i}\mid \alpha _{i}\rangle \rightarrow \sum _{i}\langle \alpha _{i}\mid \lambda _{i}^{*}$ ,

kde hviezdička $*$ označuje komplexné združenie. V konkrétnom prípade vlnovej mechaniky sú ket-vektory $\mid \alpha _{i}\rangle$ vlnové funkcie $\phi _{i}$ a bra-vektory $\langle \alpha _{i}\mid$ sú komplexne združené vlnové funkcie $\psi _{i}^{*}$ . Skalárny súčin

$\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle$

je definovaný pre ľubovoľnú dvojicu ket-vektor $\mid \alpha \rangle$ a bra-vektor $\langle \alpha ^{'}\mid$ . Skalárny súčin je komplexné číslo a má tú vlastnosť, že

$\langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{*}$ .

Dôsledkom toho je, že $\langle \alpha \mid \alpha \rangle$ je reálne číslo. Taktiež požadujeme, aby bolo kladné:

$\langle \alpha \mid \alpha \rangle >0$ .

Za týmto požiadavkom sa skrýva predstava, že $\langle \alpha \mid \alpha \rangle$ zodpovedá druhej mocnine dĺžky vektoru $\mid \alpha \rangle$ . V konkrétnom vyjadrení vlnovej mechaniky zodpovedá skalárny súčin integrálu

$\int \psi ^{'*}\psi ,dx$ , ktorý má zjavne vlastnosť $\langle \alpha \mid \alpha ^{'}\rangle =\langle \alpha ^{'}\mid \alpha \rangle ^{*}$ , rovnako ako

$\int \psi ^{*}\psi ,dx$ má vlastnosť $\langle \alpha \mid \alpha \rangle >0$ , pretože $\psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}$ je kladné.

Vzťah medzi ket-vektormi a fyzikálnymi stavmi zodpovedá tzv. paprskovej reprezentácii. To znamená, že $\mid \alpha \rangle$ a $\lambda \mid \alpha \rangle$ vyjadrujú rovnaký fyzikálny stav pre ľubovoľné nenulové komplexné číslo $\lambda$ .

Pozri aj

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.