Abelovská grupa

Abelovská grupa (iné názvy: Abelova grupa, ábelovská grupa, komutatívna grupa) je algebrická štruktúra.[1] Je to grupa, ktorej binárna operácia je komutatívna. Abelovské grupy sú nazvané podľa nórskeho matematika Nielsa Abela.[2]

Presná definícia[3]:

• abelovská grupa vzhľadom na operáciu sčítanie

Množina G s binárnou operáciou „${\displaystyle +}$“ sa nazýva Abelovskou grupou ak platí:

1. ${\displaystyle \forall \ a,b,c\in G\qquad (a+b)+c=a+(b+c)}$
2. ${\displaystyle \exists 0\in G\qquad \forall a\in G\qquad a+0=0+a=a}$
3. ${\displaystyle \forall a\in G\qquad \exists -a\in G\qquad a+(-a)=(-a)+a=0}$
4. ${\displaystyle \forall a,b\in G\qquad a+b=b+a}$

• abelovská grupa vzhľadom na operáciu násobenie

Množina G s binárnou operáciou „${\displaystyle \cdot }$“ sa nazýva Abelovskou grupou ak platí:

1. ${\displaystyle \forall \ a,b,c\in G\qquad (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. ${\displaystyle \exists 1\in G\qquad \forall a\in G\qquad a\cdot 1=1\cdot a=a}$
3. ${\displaystyle \forall a\in G\qquad \exists a^{-1}\in G\qquad a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1}$
4. ${\displaystyle \forall a,b\in G\qquad a\cdot b=b\cdot a}$