Veľká Fermatova veta

Počas nasledujúcich storočí sa podarilo dokázať niektoré ďalšie zvláštne prípady vety. Prípad ${\displaystyle n=4}$ našiel vo Fermatovej pozostalosti matematik Leonhard Euler a pomocou komplexných čísel dokázal platnosť vety pre ${\displaystyle n=3}$. Na základe jeho prác sa podarilo rozšíriť platnosť vety pre ${\displaystyle n}$ rovné všetkým násobkom čísel 3 a 4 (3, 6, 9, ...; 4, 8, 12, ...).

Roku 1825 rozšírili platnosť vety Peter Gustav Lejeune Dirichlet a Adrien-Marie Legendre pre ${\displaystyle n=5}$ a roku 1839 dokázal platnosť vety Gabriel Lamé aj pre ${\displaystyle n=7}$.

Definitívny dôkaz pokrývajúci Fermatovo tvrdenie v celej jeho všeobecnosti získal až britský matematik Andrew Wiles roku 1994. Ide o jeden z najzložitejších matematických dôkazov v dejinách matematiky.

Samotná veľká Fermatova veta nemá pre matematiku veľký význam a fakt, na ktorý poukazuje, je zatiaľ len matematickou zaujímavosťou a nemá doposiaľ využitie. No dôkaz, ktorý Andrew Wiles vytvoril, je neoceniteľný pre celý matematický svet. Pre dôkaz muselo byť zjednotených veľa matematických myšlienok a teórií a veľa ich muselo byť vytvorených. Práve množstvo týchto postupov našlo uplatnenie v modernej vede a umožnilo ďalšie výskumy.

Andrew Willes dal matematickému svetu novú nádej, keď dokázal Tanijamovu-Šimurovu domnienku, ktorá spája eliptické krivky a modulárne formy – dve rôzne odvetvia matematiky s úplne rôznymi princípmi a prístupmi k problémom, ale pri bližšom pohľade s mnohými spojitosťami a spoločnými vlastnosťami. Tým Willes dokázal, že modulárne formy a eliptické krivky si neodporujú, a teda dokázal aj Tanijamovu-Šimurovu domnienku. Zároveň dal matematikom nádej na splnenie Langdsovho programu, teda vytvorenia veľkej zjednotenej matematiky.

Dôkaz Veľkej Fermatovej vety je založený na vete známej ako "epsilonová domnienka" navrhnutá Serrym a dokázaná Kenom Ribetom v lete roku 1986. Táto veta spojila Veľkú Fermatovu vetu s tzv. Taniyamovou-Šimurovou domnienkou o vzťahu medzi eliptickými krivkami nad poľom racionálnych čísel a modulárnymi formami. V roku 1993 Andrew Wiles oznámil dôkaz tejto domnienky, a tak i Veľkej Fermatovej vety, avšak ako sa neskôr ukázalo, dôkaz obsahoval chybu v kritickej časti, ktorá ohraničovala rád istej grupy. V roku 1994 Wiles a Richard Taylor, bývalý študent, zverejnili opravený dôkaz. Wilesov priamy útok na domnieku začal hneď, ako Ribet oznámil svoj dôkaz a začal tak žiť svojich sedem rokov v takmer úplnej tajnosti. Hlavný problém, ktorý Andrew Wiles musel prekonať, bolo nájsť priradenie medzi polostabilnými eliptickými krivkami nad racionálymi číslami a polostabilnými modulárnymi eliptickými krivkami nad racionálnymi číslami, o ktorom ukázal, že existuje explicitným spočítaním oboch množín. Pred Wilesom bolo mnoho pokusov spočítať eliptické krivky, avšak nikto nezistil ako. Andrew Wiles prišiel na to, že by mohol spočítať príslušné Galoisove reprezentácie. V tomto procese rozšíril myšlienky Barryho Mazura o deformáciách Galoisových reprezentácií.

Koncom 60. rokov 20. storočia Yves Hellegouarch objavil súvislosť medzi eliptickými krivkami a Veľkou Fermatovou vetou, ktorú použil na dôkazy výsledkov o eliptických krivkách z výsledkov, ktoré implikovala Veľká Fermatova veta. Toto viedlo Gerharda Freya k myšlienke, že z Taniyamovej-Šimurovej vety vyplýva práve Veľká Fermatova veta. Neskôr bola táto myšlienka sformalizovaná ako Serryho domnienka a dokázal ju Ken Ribet.

(Ribetova veta) Ak ${\displaystyle n}$ je prvočíslo väčšie ako 3, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, a ${\displaystyle c}$ sú nenulové celé čísla a ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$, potom eliptická krivka ${\displaystyle y^{2}=x(x+a^{n})(x-b^{n})}$ nie je modulárna.

Táto veta hovorí, že ak Veľká Fermatova veta neplatí, potom neplatí ani Taniyamova-Šimurova veta. V opačnom smere teda vraví, že ak Taniyamova-Šimurova veta platí, potom platí i Veľká Fermatova veta.

(Wilesova veta) Ak jedno z čísel ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle c}$ je párne, ${\displaystyle n>5}$, ${\displaystyle a^{n}}$ a ${\displaystyle -b^{n}}$ sú rôzne nenulové relatívne prvočísla a ${\displaystyle (a^{n})(-b^{n})(a^{n}+b^{n})}$ je deliteľné číslom 16, potom eliptická krivka ${\displaystyle y^{2}=x(x+a^{n})(x-b^{n})}$ je modulárna.

Wilesova veta hovorí, že eliptické krivky, ktoré súvisia s Veľkou Fermatovou vetou, sú modulárne. Preto ak ${\displaystyle p}$ je prvočíslo, ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, a ${\displaystyle w}$ sú racionálne čísla a ${\displaystyle u^{p}+v^{p}+w^{p}=0}$, potom ${\displaystyle uvw=0}$.

Dôkaz používa štandardné konštrukcie modernej algebraickej geometrie, v ktorej sa používa kategória schém. Tieto sú všeobecne definované v NBG teórii množín, ktorá je konzervatívnym rozšírením ZFC teórie množín, ateda všetky vety o množinách v nej tiež platia. Všeobecne sa uvažuje, že NBG teória množín je v zásade rovnaká ako ZFC teória množín, aj keď sa dá nahradiť presne ZFC teóriou s axiómou o existencii silne neprístupného kardinálneho čísla, dovoliacej zostrojiť Grothendieckovo univerzum. Panuje teda všeobecná diskusia o tom, aké silné axiómy musia byť, aby dôkaz prešiel; pravdepodobne na to bude stačiť aj niečo slabšie ako ZFC.

V roku 1986 Ken Ribet dokázal Serryho epsilonovú domnienku, že každý kontrapríklad ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ k Veľkej Fermatovej vete by viedol k eliptickej krivke

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n})}$

ktorá by bola kontrapríkladom Taniyamovej-Šimurovej domnienky.

Táto domnienka ukázala silnú súvislosť, dnes už dokázanú, medzi eliptickými krivkami a modulárnymi formami. V jednej zo svojich formulácií hovorí, že každá eliptická krivka sa dá parametrizovať racionálnym zobrazením s celočíselnými koeficientami použitím klasickej modulárnej krivky; eliptické krivky sú tiež modulárnymi krivkami.

Andrew Wiles a Richard Taylor boli schopní dokázať špeciálny prípad so semistabilnými eliptickými krivkami, ale tie stačili na vylúčenie kontraprikladov z Taniyamovej-Šimurovej domnienky vychádzajúcich z Veľkej Fermatovej vety. Následne však bola dokázaná kompletná Taniyamova-Šimurova domnienka a dnes niekedy nazývame veta o modularite, čo je ďalší míľnik v teórii čísel.

Príbeh o dôkaze je skoro tak pozoruhodný ako záhada okolo vety samotnej. Wiles strávil sedem rokov pracujúc sám na takmer všetkých detailoch v úplnej tajnosti (okrem finálnej kontroly, do ktorej prizval svojho kolegu z Princetonu Nicka Katza). Keď oznamoval svoj dôkaz počas troch prednášok na Inštitúte Isaaca Newtona pre matematické vedy 21. – 12. júna 1993, publikum bolo ohromené množstvom myšlienok a konštrukcií, ktoré v dôkaze predvádzal. Nanešťastie sa počas bližšieho skúmania objavila vážna chyba a zdalo sa, že celý dôkaz sa od základov zrúti. Wiles a Taylor strávili asi rok prácami na oprave dôkazu. V septembri 1994 sa podarilo konečne dôkaz opraviť inou technikou, ktorú Wiles použil vo svojich skorších pokusoch.

O Veľkej Fermatovej vete a jej riešení vyšla v českom preklade kniha

• Simon Singh: Veľká Fermatova veta, (Academia, 2000).

• Andrew Wiles: Modular Elliptic Curves and Fermat's last theorem. Annals of Mathematics 141 (1995), 443–551