Unitárny priestor

Unitárny priestor (tiež priestor so skalárnym súčinom, predhilbertovský priestor alebo nesprávne euklidovský priestor) je lineárny priestor, na ktorom je definovaný skalárny súčin (v cudzích jazykoch nazývaný aj vnútorný súčin). Pomocou skalárneho súčinu sa na priestore dajú rozumne definovať geometrické pojmy uhol a vzdialenosť, čím na priestore vzniká dodatočná geometrická štruktúra. Pomenovanie predhilbertovský priestor poukazuje na skutočnosť, že ľubovolné jeho zúplnenie je Hilbertov priestor.

Definícia

Unitárny priestor je lineárny priestor nad poľom F reálnych alebo komplexných čísiel na ktorom je navyše definovaný skalárny súčin, to jest zobrazenie

\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbf {F}

také že pre ľubovoľné vektory $x,y,v\in V$ a pre ľubovoľné číslo $\alpha$ z F platí:

$\langle x,x\rangle =0$ vtedy a len vtedy ak $x={\overline {0}}$
$\langle x,x\rangle \geq 0$
$\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$
$\langle x+y,u\rangle =\langle x,u\rangle +\langle y,u\rangle$
$\langle \alpha x,u\rangle =\alpha \langle x,u\rangle$

Alternatívna definícia

Vlastnosť 4 z definície skalárneho súčinu hovorí, že skalárny súčin je aditívna funkcia svojho prvého argumentu. Vlastnosť 5 zase hovorí, že skalárny súčin je vo svojom prvom argumente homogénny vzhľadom k násobeniu prvkami z F. Z toho okamžite vyplýva, že skalárny súčin je vo svojom prvom argumente lineárny. Ďalej, z vlastnosti 3 okamžite vyplynie, že skalárny súčin je lineárny aj vo svojom druhom argumente a teda je to bilineárna forma.

Každá bilineárna forma prirodzeným sposobom indukuje kvadratickú formu. V reči foriem sa dajú vlastnosti 1 a 2 formulovať tak, že kvadratická forma indukovaná skalárnym súčinom je kladne definitná.

Tieto úvahy umožňujú reformulovať definíciu skalárneho súčinu. Skalárny súčin je potom akákoľvek bilineárna forma ktorá indukuje kladne definitnú kvadratickú formu.

Príklady

Euklidovské priestory

Euklidovský priestor dimenzie $n\in \mathbb {N}$ , čiže množina $\mathbb {R} ^{n}$ spolu so skalárnym súčinom

\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}

je dôležitým príkladom unitárneho priestoru.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.