Bilineárna forma

Nech V je vektorový priestor nad poľom F. Bilineárna forma na V je zobrazenie ${\displaystyle B:V\times V\to F}$ také, že platí:

1. ${\displaystyle \forall x,y,z\in V:B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z),}$
2. ${\displaystyle \forall x,y\in V\forall \alpha \in F:B(\alpha \cdot x,y)=\alpha B(x,y),}$
3. ${\displaystyle \forall x,y,z\in V:B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z),}$
4. ${\displaystyle \forall x,y\in V\forall \alpha \in F:B(x,\alpha \cdot y)=\alpha B(x,y).}$

To znamená, že B musí byť v každej svojej zložke lineárne zobrazenie. Oproti definícii bilineárneho zobrazenia sa definícia bilineárnej formy líši tým, že jej obor hodnôt musí byť podmnožinou poľa F.

Medzi základné špeciálne druhy bilineárnych foriem patria:

• Symetrické bilineárne formy, pre ktoré navyše platí ${\displaystyle \forall x,y\in V:B(x,y)=B(y,x).}$
• Antisymetrické bilineárne formy, pre ktoré navyše platí ${\displaystyle \forall x,y\in V:B(x,y)=-B(y,x).}$
• Alternujúce bilineárne formy, pre ktoré navyše platí ${\displaystyle \forall x\in V:B(x,x)=0.}$

Dá sa dokázať, že každá alternujúca bilineárna forma je antisymetrická. Ak má pole F charakteristiku rôznu od 2, je aj každá antisymetrická forma alternujúca.

• Lineárna forma
• Kvadratická forma

• Shapirov, R. A.: Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry. Bashkir State University - Ufa, 1996.
• Vopěnka, P.: Analytická geometrie druhé generace. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem, 1998.

• Definícia bilineárnej formy - MathWorld (po anglicky).
• Článok o bilineárnych formách - PlanetMath (po anglicky).