Reálne číslo

Množina reálnych čísel je ľubovoľná množina (budeme ju označovať R; iné spôsoby značenia: ${\displaystyle \mathbb {R} }$, alebo Unicode ℝ – U+211D), na ktorej sú zadefinované ľubovoľné dve binárne operácie, označme ich + a *, ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:

• R tvorí s operáciami + a * pole (algebra), pričom neutrálny prvok operácie + budeme symbolicky označovať 0 a neutrálny prvok operácie * symbolicky 1,
• pole R je usporiadané, inými slovami, existuje na ňom (nejaké) totálne usporiadanie, označme ho ≤, také, že pre všetky reálne čísla x, y a z platí:
  • ak x > y, potom x + z > y + z,
  • ak x > 0 a súčasne y > 0, potom x*y > 0,
• uvedené usporiadanie je dedekindovsky úplné, teda každá zhora ohraničená neprázdna podmnožina množiny R má supremum (najmenšie horné ohraničenie) tiež v R.

Posledná vlastnosť odlišuje množinu reálnych čísel od racionálnych. Napríklad množina všetkých racionálnych čísel menších ako druhá odmocnina z 2 má horné ohraničenie (napríklad 1,5), ale jej najmenšie horné ohraničenie -- supremum (odmocnina z 2) nie je racionálne číslo.

Reálne čísla sú týmito vlastnosťami úplne určené. Ak teda existujú dve rôzne množiny (presnejšie polia) R₁ a R₂, potom existuje jedinečný izomorfizmus medzi nimi, a sú vzhľadom na tieto vlastnosti prakticky rovnaké.

Množinu prirodzených čísel N možno definovať, ako najmenšiu podmnožinu množiny R s vlastnosťami

1. ${\displaystyle 0\in N}$
2. ak ${\displaystyle x\in N}$, tak ${\displaystyle x+1\in N}$

V tejto definícii je aj nula prirodzené číslo.

Množina reálnych čísel je nespočítateľná, reálných čísel je omnoho viac než prirodzených čísel, hoci obe množiny sú nekonečné. Kardinalita množiny reálných čísel je rovnaká ako kardinalita ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$, množiny všetkých podmnožín ${\displaystyle \mathbb {N} }$ . Tvrdenie, že neexistuje žiadna podmnožina reálných čísel s kardinalitou medzi kardinalitami množin prirodzených čísel a reálnych čísel je známe ako hypotéza kontinua. Za predpokladu bezospornosti Zermelo-Fraenklovej teórie množín nemôže byť táto hypotéza dokázaná ani vyvrátená v rámci tejto teórie.