Euklidovská geometria
Euklidovská geometria je matematická teória, ktorej základy položil starogrécky matematik Euklides z Alexandrie. Euklidove zväzky Základy boli prvou systematickou diskusiou geometrie. Bol to jeden z najvplyvnejších súborov kníh v histórii, tak kvôli jeho metóde, ako aj matematickému obsahu. Metóda pozostáva z predpokladu niekoľkých intuitívne platných axiómov a dôkazu množstva iných tvrdení (viet) z týchto axiómov. Aj keď veľa z Euklidových výsledkov bolo známych gréckym matematikom pred ním, Euklid bol prvý, ktorý ukázal ako tieto tvrdenia tvoria spolu komplexný deduktívny systém.
Základy začínajú geometriou v rovine, ktorá sa stále učí na stredných školách ako prvý axiomatický systém a prvé príklady formálnych dôkazov. Neskôr Euklides popisuje geometriu telies v troch rozmeroch a následne rozširuje na ľubovoľný konečný počet rozmerov. Mnoho z výsledkov v Základoch sú dnes tvrdeniami v teórii, ktorú voláme teória čísel a Euklides ich dokazoval geometrickými metódami.
Po vyše dvetisíc rokov bolo prídavné meno „euklidovská“ zbytočné, pretože sme nepoznali žiadnu inú geometriu. Euklidove axiómy sa zdali tak intuitívne samozrejmé, že každá veta z nich dokázaná sa považovala za pravdivú v absolútnom zmysle. Dnes však poznáme mnoho iných konzistentných formálnych geometrií, z ktorých prvé boli zostrojené v začiatkoch 19. storočia. V dnešnej dobe už ani nepovažujeme euklidovskú geometriu za tak samozrejmú pre opis fyzikálneho priestoru. Dôsledok Einsteinovej všeobecnej teórie relativity je, že euklidovská geometria je výborná aproximácia vlastností fyzikálneho priestoru, ale len v prípadoch, keď gravitačná sila nie je príliš silná.
Axiomatický prístup
Na začiatku prvej knihy Základov, Euklides podáva päť postulátov (axiómov):
- Ľubovoľné dva body sa dajú spojiť úsečkou.
- Ľubovoľná úsečka sa dá nekonečne predĺžiť.
- Ak je daná ľubovoľná úsečka, môžeme nakresliť kružnicu, ktorá bude mať túto úsečku ako polomer a jeden koniec bude jej stred.
- Všetky pravé uhly sú zhodné.
- Postulát o rovnobežnosti. Keď dve priamky pretínajú tretiu tak, že súčet vnútorných uhlov na niektorej strane je menší ako dva pravé uhly, potom tieto dve priamky sa musia nutne pretnúť práve na tejto strane.
Tieto axiómy evokujú koncepty bodu, priamky, úsečky, strany priamky, kružnice s polomerom a stredom, pravého uhlu, zhodnosti, vnútorných uhlov a súčtu. Objavujú sa tieto slovesá: spojiť, predĺžiť, nakresliť, pretnúť. Kružnica v postuláte 3 je implicitne jedinečná. Postuláty 3 a 5 platia iba pre rovinnú geometriu, pričom v troch rozmeroch postulát 3 nedefinuje kružnicu, ale guľu. Euklides používal pojmy priamka, polpriamka, úsečka a čiara bez rozdielu.
