Teória chaosu

Aby sme mohli klasifikovať chovanie systému ako chaotické musí systém vykazovať nasledujúce vlastnosti:

• musí byť citlivý na počiatočné podmienky
• musí byť topologicky tranzitívny
• jeho periodické orbity musia byť husté

Citlivosť k počiatočným podmienkam znamená, že dve blízke trajektórie vo fázovom priestore sa s rastúcim časom rozbiehajú (exponenciálne). Inak povedané, malá zmena v počiatočných podmienkach vedie po čase k veľmi odlišnému výsledku. Systém sa chová identicky iba keď jeho počiatočná konfigurácia je úplne rovnaká. Príkladom takejto citlivosti je tzv. motýli efekt, kedy mávnutie motýlích krídiel vyvolá len nepatrné zmeny v atmosfére, ktorá ale v priebehu času môže viesť až k tak dramatickým zmenám ako je výskyt tornád. Mávnutie krídiel motýľa predstavuje malú zmenu počiatočných podmienok systému, ktorá ale spôsobí reťaz udalostí vedúci k rozsiahlym javom, ako sú tornáda. Keby motýľ nemávol krídlami, trajektória systému by mohla byť úplne iná.

Citlivosť k počiatočným podmienkam sa dá kvantifikovať Ljapunovým exponentom

Tranzitivita znamená, že aplikácie transformácie na ľubovoľný daný interval ${\displaystyle I_{1}}$ ho rozťahuje až do doby, kedy prekryje ľubovoľný ďalší daný interval ${\displaystyle I_{2}}$.

Tranzitivita, husté periodické body a citlivosť na počiatočných podmienkach sa dajú rozšíriť na ľubovoľný metrický priestor. J. Banks a jeho kolegovia ukázali v roku 1992, že v nastaveniach obecného metrického priestoru tranzitivita a zároveň husté periodické body implikujú citlivosť na počiatočných podmienkach.

Jedným spôsobom vizualizácie chaotického pohybu, alebo naozaj ľubovoľného typu pohybu, je vytvorenie fázového diagramu pohybu. V takomto diagrame je čas implicitný a každá os reprezentuje jednu dimenziu stavu. Napríklad niekto kreslí pozíciu kyvadla voči jeho rýchlosti. Kyvadlo v pokoji bude zobrazené ako bod a kyvadlo v periodickom pohybu bude nakreslený ako jednoduchá uzavretá krivka. Keď takýto graf vytvára uzavretú krivku, krivka sa nazýva orbita.

Často je na fázových diagramoch vidieť, že väčšina stavových trajektórií sa približuje a obmotáva nejakú obecnú limitu. Systém končí v rovnakom pohybe pre všetky počiatočné stavy v oblasti okolo tohto pohybu, takmer ako by bol systém k tomuto pohybu (trajektórii fázového priestoru) priťahovaný (anglicky 'attracted'). Tento „cieľový“ pohyb je teda prípadne nazývaný atraktor systému a je veľmi častý pre nútené disipativne systémy.

Napr. ak pripojíme ku kyvadlu tlmič, bez ohľadu na jeho počiatočnú pozíciu a rýchlosť sa bude blížiť k pokojovému stavu – alebo presnejšie – dosiahne ho v limite. Trajektórie vo fázovom diagrame budú všetky špirály, smerujúce ku stredu a nebudú už tvoriť množinu oválov. Tento bod v strede – stav, kedy je kyvadlo v pokoji sa nazýva atraktor.

Takýto atraktor môžeme nazývať bodovým atraktorom. Nie všetky atraktory sú bodové. Niektoré sú jednoduchými slučkami, alebo zložitejšími dvojitými slučkami. A niektoré sú skutočnými fraktálmi: to sú tzv. podivné atraktory Systémy s atraktory v tvare slučky vykazujú periodický pohyb. Systémy so zložitejšími rozdelenými slučkami vykazujú kvaziperiodický pohyb. A systémy s podivnými atraktormi vykazujú chaotické chovanie.

V ľubovoľnom bode fázového diagramu sa stav systému mení určitým deterministickým spôsobom. Ak je naše kyvadlo v danej pozícií a putuje s danou rýchlosťou, môžeme spočítať v akej ďalšej pozícii kyvadlo bude a s akou rýchlosťou sa bude pohybovať. Môžeme sa teda pozerať na náš diagram ako na vektorové pole, a použiť vektorový počet, aby sme mu porozumeli.

Zatiaľ čo väčšina typov pohybov zmienených vyššie poskytuje veľmi jednoduché atraktory, ako sú body alebo kruhové krivky nazývané limitné cykly, chaotický pohyb vedie k tomu čo je známe ako podivný atraktor, čo sú vlastne atraktory s veľkolepými detailmi a veľkou zložitosťou.

Napríklad jednoduchý trojdimenzioálny model Edwarda Lorenza vedie ku slávnemu Lorenzovmu atraktoru. Lorenzov atraktor je jeden z najznámejších diagramov chaotických systémov, pretože nielen, že bol jeden z prvých popísaný, ale zároveň je jeden z najzložitejších. Vznikajú v ňom veľmi zaujímavé obrazce, ktoré vyzerajú ako motýlie krídla. Iným takýmto atraktorom je Rösslerovo zobrazenie, ktoré vykazuje dvojperiodickú cestu k chaosu podobne ako logistické zobrazenie.

Podivné atraktory sa objavujú ako v spojitých dynamických systémoch (ako je ten Lorenzov systém), tak i v niektorých diskrétnych systémoch (ako je Hénonovo zobrazenie). Iné diskrétne dynamické systémy majú odpodzujúcu štruktúru nazývanú Juliove množiny, ktoré tvoria hranice medzi oblasťami príťažlivosti pevných bodov. Podivné aktraktory aj Juliove množiny majú typicky fraktálnú štruktúru.

Poincaré-Bendixsonova veta ukazuje, že podivný atraktor môže v spojitom dynamickom systéme vzniknúť len vtedy, ak má tri alebo viac rozmerov. Ale žiadne takéto obmedzenie neplatí pre diskrétne systémy, ktoré vykazujú podivné atraktory v dvoch alebo v jedno-dimenzionálnych systémoch.