Rollova veta o strednej hodnote

Rollova veta o strednej hodnote alebo skrátene Rollova veta (často nesprávne Rolleho veta...), pomenovaná po Michelovi Rollovi, je veta v diferenciálnom počte, ktorá hovorí, že pre každú reálnu funkciu, spojitú na uzavretom intervale, ktorá má vo vnútri daného intervalu konečnú alebo nekonečnú deriváciu, a ktorá v krajných bodoch daného intervalu nadobúda rovnaké hodnoty, existuje vnútri daného intervalu nulový bod jej prvej derivácie.[1]

Znenie vety

Nech $f:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R}$ je funkcia spĺňajúca nasledujúce predpoklady:

f je spojitá na <a,b>,
f má na (a,b) konečnú alebo nekonečnú deriváciu,
f(a) = f(b).

Potom existuje bod $c\in (a,b)$ taký, že $f'(c)=0$ .

Dôkaz

Ak je f konštantná, tvrdenie platí pre všetky body $c\in (a,b)$ . Nech teda nie je konštantná. Potom, zo spojitosti, existuje bod $c\in (a,b)$ taký, že f v ňom nadobúda svoje supremum alebo infimum. Keďže derivácia f v ňom existuje, nutne musí platiť f'(c) = 0.

Referencie

Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

Pozri aj

Iné projekty

Commons ponúka multimediálne súbory na tému Rollova veta o strednej hodnote

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[neubrunn-1] Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.