Lagrangeova veta o strednej hodnote

Nech ${\displaystyle f:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R} }$ je funkcia taká, že

1. f je spojitá na <a,b>,
2. f má v každom bode intervalu (a,b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.

Potom existuje bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ taký, že pre prvú deriváciu funkcie f v bode c platí

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Nech ${\displaystyle F:\langle a,b\rangle \to \mathbb {R} }$ je funkcia definovaná ako

${\displaystyle F(x):=f(x)-\lambda x.}$

Kde ${\displaystyle \lambda }$ je konštanta, ktorú zvolíme tak, aby sme mohli použiť Rollovu vetu o strednej hodnote. Teda dostávame

${\displaystyle F(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x.}$

Funkcia F(x) na intervale <a,b> vyhovuje predpokladom Rollovej vety o strednej hodnote, čo znamená, že existuje bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ taký, že platí ${\displaystyle F'(c)=0}$. Derivujeme ${\displaystyle F(x)}$ podla ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}},}$

vyčíslime v bode ${\displaystyle c}$

${\displaystyle F'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=0,}$

a teda

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

1. Neubrunn, T., Vencko, J.: Matematická analýza I. Univerzita Komenského v Bratislave, 1992.

• Cauchyho veta o strednej hodnote
• Rollova veta o strednej hodnote