Lineárny funkcionál

Uvažujme o euklidovskom priestore ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Predpokladajme, že vektory priestoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sú reprezentované ako stĺpcové vektory typu

${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.}$

Potom každý lineárny funkcionál možno zapísať v tvare

${\displaystyle f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}.}$

Predchádzajúci výraz možno ekvivalentne zapísať ako maticový súčin

${\displaystyle f(x)=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\cdot (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}.}$

To znamená, že lineárne funkcionály na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ môžu byť reprezentované ako n-rozmerné riadkové vektory ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$.

Typickým príkladom lineárnych funkcionálov sú lineárne funkcionály na vektorových priestoroch funkcií. Príkladom takéhoto lineárneho funkcionálu môže byť napríklad Riemannov integrál chápaný ako zobrazenie na vektorovom priestore spojitých reálnych funkcií na intervale ${\displaystyle <a,b>}$. Môžeme teda definovať funkcionál I ako

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Linearitu funkcionálu možno overiť nasledujúcim spôsobom:

${\displaystyle I(\alpha \cdot f+\beta \cdot g)=\int _{a}^{b}((\alpha \cdot f)(x)+(\beta \cdot g)(x))dx=\int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)dx=\alpha I(f)+\beta I(g).}$