Formálny jazyk

Jazyk nad abecedou ${\displaystyle \Sigma }$ je ľubovoľná množina slov s konečnou dĺžkou nad touto konečnou abecedou.

Majme abecedu ${\displaystyle \Sigma =\{a,b,c\}}$. Jazyky nad touto abecedou sú napr.:

• ${\displaystyle L_{1}=\{aa,bb,cc\}}$,
• ${\displaystyle L_{2}=\{a\}}$,
• ${\displaystyle L_{3}=\{a,b,c\}=\Sigma }$,
• ${\displaystyle L_{4}=\emptyset }$,
• ${\displaystyle L_{5}=\{a,aa,aaa,aaaa,\ldots \}=\{a^{i}~|~i\geq 1\}}$,
• ${\displaystyle L_{6}=\Sigma ^{*}}$.

Keďže formálne jazyky sú množiny, môžeme využiť všetky spôsoby reprezentácie množín, napr. vymenovanie prvkov pri konečných jazykoch alebo udanie logického predikátu nad množinou všetkých slov nad abecedou. V teórii formálnych jazykov boli vyvinuté dva veľmi silné modely, ktoré popisujú jazyky. Prvým je gramatika, ktorá svojimi pravidlami generuje slová z daného jazyka. Druhým modelom je automat. Na automat sa môžeme pozerať ako na čiernu skrinku, ktorá pre ľubovoľné slovo nad abecedou povie, či toto slovo patrí do daného jazyka alebo nie.

V teórii formálnych jazykov delíme jazyky podľa sily modelov, ktoré ich popisujú, t. j. gramatík alebo automatov. V roku 1956 americký informatik a lingvista Noam Chomsky popísal hierarchiu jazykov, ktorú dnes poznáme ako Chomského hierarchia.

Nech ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$ sú jazyky nad abecedou ${\displaystyle \Sigma }$:

Nad jazykmi sú definované, prirodzene, množinové operácie

• zjednotenie jazykov ${\displaystyle L_{1}\cup L_{2}=\{w~|~w\in L_{1}\vee w\in L_{2}\}}$,
• prienik jazykov ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}=\{w~|~w\in L_{1}\wedge w\in L_{2}\}}$,
• rozdiel jazykov ${\displaystyle L_{1}\setminus L_{2}=\{w~|~w\in L_{1}\wedge w\not \in L_{2}\}}$,
• komplement jazyka ${\displaystyle L_{1}=\Sigma ^{*}\setminus L_{1}}$ (pozri nižšie definíciu Kleeneho uzáveru - jazyka ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$).

Ďalej sa definujú nasledovné základné operácie:

• zreťazenie jazykov ${\displaystyle L_{1}.L_{2}=\{w_{1}.w_{2}~|~w_{1}\in L_{1}\wedge w_{2}\in L_{2}\}}$, kde ${\displaystyle w_{1}.w_{2}}$ je zreťazenie slov ${\displaystyle w_{1}}$ a ${\displaystyle w_{2}}$,
• mocnina jazyka je definovaná rekurzívne: ${\displaystyle L_{1}^{0}=\{\varepsilon \},L_{1}^{i}=L.L^{i-1}}$. Do ${\displaystyle i}$-tej mociny jazyka patria teda všetky slová, ktoré vznikli zreťazením ${\displaystyle i}$ slov z jazyka ${\displaystyle L_{1}}$,
• Kleeneho hviezdička (Kleeneho uzáver, iterácia) jazyka ${\displaystyle L_{1}^{*}=\bigcup _{i=0}^{\infty }L_{1}^{i}}$. Do Kleeneho uzáveru jazyka ${\displaystyle L_{1}}$ patria teda všetky slová, ktoré dostaneme zreťazením ľubovoľného (aj nulového) počtu slov z jazyka ${\displaystyle L_{1}}$,
• Kleeneho plus (Kleeneho kladný uzáver, kladná iterácia) jazyka ${\displaystyle L_{1}^{+}=\bigcup _{i=1}^{\infty }L_{1}^{i}}$. Obecne neplatí, že ${\displaystyle L_{1}^{+}=L_{1}^{*}\setminus \{\varepsilon \}}$; táto rovnosť platí len vtedy ak ${\displaystyle L_{1}}$ neobsahuje ${\displaystyle \varepsilon \ }$.
• homomorfizmus: Nech je dané zobrazenie ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ medzi Kleeneho uzávermi abecied ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ a ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ také, že ${\displaystyle \forall w_{1},w_{2}\in \Sigma _{1}^{*}:h(w_{1}.w_{2})=h(w_{1}).h(w_{2})}$. Zobrazenia s touto vlastnosťou voláme homomorfizmus. Obrazom jazyka ${\displaystyle L\subseteq \Sigma _{1}^{*}}$ v homomorfizme ${\displaystyle h}$ nazývame jazyk ${\displaystyle h(L)=\{h(w)|w\in L\}}$.