Regulárna gramatika

Formálne sa regulárna gramatika definuje ako štvorica ${\displaystyle G=(N,T,P,\sigma ),\,}$ kde N je množina neterminálnych symbolov, T je množina terminálnych symbolov, ${\displaystyle P\subseteq N\times T^{\ast }(N\cup \{\varepsilon \})}$ je množina prepisovacích pravidiel a ${\displaystyle \sigma \in N\,}$ je počiatočný neterminál.

Krok odvodenia a jazyk akceptovaný regulárnou gramatikou sa definujú rovnako, ako pri bezkontextových gramatikách alebo frázových gramatikách. Krok odvodenia je binárna relácia ${\displaystyle \Rightarrow _{G}}$ na ${\displaystyle (N\cup T)^{\ast }}$ definovaná nasledovne:

${\displaystyle x\Rightarrow _{G}y\iff \exists w_{1},w_{2}\in (N\cup T)^{\ast }\exists (u\to v)\in P:x=w_{1}uw_{2}\ \land \ y=w_{1}vw_{2}.}$

Keďže má regulárna gramatika oproti frázovým gramatikám obmedzený tvar prepisovacích pravidiel, je možné predchádzajúcu definíciu prepísať ako:

${\displaystyle x\Rightarrow _{G}y\iff \exists w\in T^{\ast }\exists (\xi \to v)\in P:x=w\xi \ \land \ y=wv.}$

Jazyk akceptovaný regulárnou gramatikou sa definuje nasledovne:

${\displaystyle L(G)=\{w\in T^{\ast }\ |\ \sigma \Rightarrow ^{\ast }w\}.}$

Jazyk, pre ktorý existuje regulárna gramatika, ktorá ho generuje, sa nazýva regulárny jazyk. Trieda jazykov generovaných regulárnymi gramatikami (teda trieda regulárnych jazykov) sa rovná triede jazykov akceptovaných konečnými automatmi. Regulárne gramatiky a konečné automaty sú teda z hľadiska popisnej sily ekvivalentné.