Parciálna derivácia

Predpokladajme, že f je funkcia o viac ako jednej premennej, napríklad:

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

Graf funkcie z = x² + xy + y². Chceme nájsť parciálnu deriváciu v bode (1, 1, 3), ktorá ponecháva y konštantné; príslušná dotyčnica je rovnobežná s x-ovou osou.

Toto je rez grafu na obrázku hore pre y= 1.

Je zložité určiť deriváciu takejto funkcie, keďže v každom bode tejto plochy existuje nekonečne veľa dotyčníc. Nájsť parciálnu deriváciu takejto funkcie vlastne znamená vybrať jednu z takýchto dotyčníc a určiť jej sklon. Zvyčajne nás najviac zaujíma dotyčnica, ktorá leží v rovine rovnobežnej so súradnicovou rovinou (y,z) alebo so súradnicovou rovinou (x,z). Dobrý spôsob, ako nájsť takéto dotyčnice je považovať ostatné premenné za konštanty. Napríklad, ak vo vyššie uvedenej funkcii hodláme nájsť dotyčnicu v bode (1, 1, 3), ktorá je rovnobežná s x-ovou osou, považujeme y za konštantu. Graf uvažovanej funkcie a jedna z prislúchajúcich rovín (y= 1) sú zobrazené na prvom obrázku. Na obrázku pod ním je rez grafom funkcie pre y= 1. Nájdením bežnej derivácie funkcie o jednej premennej, ktorá je zadaná vyššie uvedeným predpisom, pričom y považujeme za konštantu získame rovnicu požadovanej dotyčnice funkcie f rovnobežnej s osou x:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}$

Teda v bode (1, 1, 3), je hodnota parciálnej derivácie (a teda aj tangens požadovanej dotyčnice) rovná 3 (tento poznatok získame substitúciou). Teda môžeme položiť, že

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

v bode (1, 1, 3).

Každú funkciu f o viacerých premenných môžeme interpretovať ako systém funkcií o jednej premennej, pričom funkcie indexujeme podľa ostatných premenných. Napríklad, ak vezmeme príklad uvažovaný v predchádzajúcej sekcii (a ako konštantu budeme tentoraz uvažovať premennú x), môžeme písať:

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

Inými slovami, každá hodnota x definuje funkciu označovanú f_x, ktorá je funkciou jednej reálnej premennej. Teda,

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

Hneď ako zvolíme hodnotu x, napríklad nech x=a, potom f(x,y) určuje funkciu f_a, ktorá každému y priraďuje hodnotu a² + ay + y²:

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,}$

V tomto výraze je a konštanta, nie premenná, preto f_a je funkciou o jednej reálnej premennej, totiž y. Preto môžeme túto funkciu aj zderivovať ako funkciu jednej premennej, čím dostávame:

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.\,}$

Tento postup je možné zopakovať pre ľubovoľnú hodnotu a. Ak z derivácií pre všetky možné hodnoty a vytvoríme opäť funkciu o dvoch premenných, dostávame:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.\,}$

Toto je parciálna derivácia funkcie f vzhľadom na y.

Vo všeobecnosti, parciálnu deriváciu funkcie f(x₁,...,x_n) vzhľadom na x_i v bode (a₁,...,a_n) teda je možné definovať ako:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$

V predchádzajúcom výraze sú všetky premenné okrem x_i pevné a výber pevných hodnôt určuje funkciu o jednej reálnej premennej ${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})}$, pričom z definície máme

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(x_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

Objem kužeľa závisí od jeho výšky a polomeru podstavy

Objem kužeľa V závisí od jeho výšky h a polomeru podstavy r podľa nasledovného vzorca:

${\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.}$

Parciálna derivácia V podľa r je

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}}$

a vyjadruje mieru, akou sa mení objem kužeľa, ak meníme polomer jeho podstavy a výška ostáva konštantná. Naopak, parciálna derivácia V podľa h je

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}}$

a vyjadruje mieru, akou sa mení objem kužeľa, ak meníme jeho výšku a polomer podstavy ostáva konštantný.

Aj u parciálnych derivácií funkcií viacerých premenných existuje podobný koncept ako primitívna funkcia u bežných derivácií funkcií jednej reálnej premennej. Z parciálnej derivácie je teda možné čiastočne zrekonštruovať pôvodnú funkciu.

Uvažujme napríklad prvý príklad v tomto článku, ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}$.

Potom môžeme túto parciálnu deriváciu, ktorá je opäť funkciou dvoch premenných, "parciálne" zintegrovať podľa x, pričom y opäť považujeme za konštantu:

${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)}$

Je dôležité si uvedomiť, že integračná "konštanta" g(y) v tomto prípade nie je konštantou v pravom slova zmysle, ale funkciou všetkých premenných okrem x (v tomto prípade teda len y), ktoré sme pri procese integrovania považovali za konštanty. Dôvodom je, že pri procese parciálneho derivovania sme všetky premenné okrem x považovali za konštanty, a teda sa stratili všetky funkcie, ktoré nezáviseli od x. Najvšeobecnejší spôsob, ako sa s týmto faktom vyrovnať je teda ako integračnú "konštantu" použiť ľubovoľnú funkciu o všetkých premenných okrem x.

Systém funkcií ${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$, kde g je funkcia o jednej premennej y, teda pozostáva z práve všetkých funkcií, ktorých parciálna derivácia podľa x je ${\displaystyle 2x+y}$.

Ak máme všetky parciálne derivácie nejakej funkcie (teda gradient), potom je možné z parciálnych primitívnych funkcií získaných uvedeným procesom úplne zrekonštruovať pôvodnú funkciu (až na konštantu).

• Parciálna derivácia - projekt MathWorld (po anglicky)

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Partial derivative na anglickej Wikipédii.