Zobecněná souřadnice

Při řešení určitého fyzikálního problému je výhodné, pokud je možné zvolit zobecněné souřadnice tak, aby byly nezávislé. Tento postup se používá v lagrangeovské mechanice, neboť umožňuje zbavit se těch proměnných, které by bylo nutno vyjádřit pomocí různých vazebných podmínek.

Pro systém s ${\displaystyle m}$ stupni volnosti a ${\displaystyle n}$ částicemi, jejichž polohy jsou určeny polohovými vektory ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{i}\}}$ ve třírozměrném prostoru existuje ${\displaystyle 3n-m}$ rovnic, které omezují složky těchto polohových vektorů. Počet zobecněných souřadnic lze v takovém případě zvolit stejný jako je počet stupňů volnosti ${\displaystyle m}$. Zobecněné souřadnice ${\displaystyle \{q_{1},q_{2},...,q_{m}\}}$ a čas ${\displaystyle t}$ postačují k popisu systému, jsou-li všechny zobecněné souřadnice vzájemně nezávislé. Návrat k původním souřadnicím (tedy k polohovým vektorům jednotlivých částic) je pak dán transformačními vztahy

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)}$

pro ${\displaystyle i=1,2,...,n}$.

Tyto transformace umožňují při práci s komplikovanými systémy použít vhodnější souřadnice a po vyřešení problému se vrátit zpět k původním souřadnicím. Pomocí těchto rovnic lze vytvořit diferenciály, např. pro případy virtuálního posunutí nebo zobecněných sil.

Prostor ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ zobecněných souřadnic se nazývá konfigurační prostor.

Časová změna zobecněné souřadnice určuje zobecněnou rychlost

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}}$

Rychlosti pohybu jednotlivých částic lze získat použitím transformačních vztahů

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}}$

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Stupeň volnosti
• Virtuální práce
• Konfigurační prostor
• Fázový prostor