Zobecněná síla

Pokud se částice v důsledku působení síly ${\displaystyle \mathbf {F} }$ změní svoji polohu, přičemž změnu lze vyjádřit polohovým vektorem ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$, pak práce vykonaná touto silou je

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =\sum _{i}F_{i}\delta x_{i}}$

Převedeme-li pravou stranu do zobecněných souřadnic, dostaneme

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\left(\sum _{j=1}^{n}F_{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\right)}$

Pokud zaměníme pořadí sumací, lze psát

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i}F_{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{j}}}\right)\delta q_{j}}$

Právě z předchozího zápisu pochází myšlenka zavedení zobecněné síly. Zavedeme-li totiž zobecněnou sílu vyjádřenou v zobecněných souřadnicích ${\displaystyle q_{j}}$ vztahem

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i}\left(F_{i}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q_{j}}}\right)}$,

pak lze výraz pro práci zapsat ve tvaru

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{n}(Q_{j})\delta q_{j}}$

Veličina ${\displaystyle Q_{j}q_{j}}$ má rozměr práce. Pokud má zobecněná souřadnice ${\displaystyle q_{j}}$ rozměr délky, pak má zobecněná síla ${\displaystyle Q_{j}}$ rozměr síly. Avšak vzhledem k tomu, že zobecněná souřadnice ${\displaystyle q_{j}}$ nemusí mít fyzikální rozměr délky, nemusí mít ani odpovídající zobecněná síla ${\displaystyle Q_{j}}$ rozměr síly. Např. pokud ${\displaystyle q_{j}}$ je úhel, pak ${\displaystyle Q_{j}}$ má rozměr momentu síly.

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Zobecněná souřadnice
• Stupeň volnosti
• Síla
• Virtuální práce