Zobecněná Stokesova věta

Uvažuje se klasická Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole, tedy

${\displaystyle \oint _{\partial M}\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\partial M}A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y=}$

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - ten je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý. ${\displaystyle \wedge }$ je vnější násobení forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo kezměně orientace formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný.)

Nyní se aplikuje věta - tedy zderivuje integrovaná forma. V členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá jedna, konkrétně tedy

${\displaystyle =\int _{M}\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\right)=}$

${\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=}$

${\displaystyle \int _{M}\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=}$

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze aplikovat tzv. hustotní duál a převést integrál z formy na běžný integrál přes objem.

${\displaystyle =\int _{M}\left({\nabla \cdot \mathbf {A} }\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\int _{V}({\nabla \cdot \mathbf {A} })\mathrm {d} V.}$

Je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Zcela obdobným postupem lze dospět ke znění Stokesovy věty.

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\tau }}=\oint _{\partial \Sigma }A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z=}$

Aplikuje se věta

${\displaystyle =\int _{\Sigma }\mathrm {d} \left(A_{x}(x,y,z)\mathrm {d} x+A_{y}(x,y,z)\mathrm {d} y+A_{z}(x,y,z)\mathrm {d} z\right)=}$

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách

${\displaystyle =\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+\right.}$${\displaystyle \left.+{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} y\right)=}$

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem

${\displaystyle =\int _{\Sigma }\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+}$${\displaystyle +\left({\frac {\partial A_{y}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial y}}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\frac {\partial A_{x}(x,y,z)}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}(x,y,z)}{\partial x}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z=}$

Lze si všimnout, že (jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů) jde o Stokesovu větu

${\displaystyle =\int _{\Sigma }\left({\nabla \times \mathbf {A} }\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$