Diskrétní vlnková transformace

DWT signálu ${\displaystyle x}$ lze spočíst jeho průchodem skrze řetězec filtrů. Nejprve se vzorky nechají projít skrze dolní propust (low pass filter) s impulzní odezvou ${\displaystyle h}$ vyplývající z konvoluce:

${\displaystyle y[n]=(x*h)[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[n-k]}}$

Signál je také současně rozložen s použitím horní propusti (high pass filter) ${\displaystyle g}$. Výstupy dávají podrobné (detailní) koeficienty (z horní propusti) a přibližné (aproximované) koeficienty (z dolní propusti). Je důležité, že tyto dva filtry jsou vzájemně komplementární a také umožňují perfektní rekonstrukci signálu – označují se jako kvadraturně zrcadlové filtry.

Polovina frekvencí signálu byla v každé větvi odebrána a tedy polovina vzorků může být s využitím Nyquistova pravidla zahozena. Výstupy filtrů jsou tudíž dále podvzorkovány dvěma (každý druhý vzorek je zahozen):

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]h[2n-k]}}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}}$

Jeden stupeň DWT

S podvzorkovacím operátorem ${\displaystyle \downarrow }$

${\displaystyle (y\downarrow k)[n]=y[kn]}$

mohou být výše uvedené rovnice zapsány stručněji jako

${\displaystyle y_{\mathrm {low} }=(x*h)\downarrow 2}$

${\displaystyle y_{\mathrm {high} }=(x*g)\downarrow 2}$.

Počítání celé konvoluce ${\displaystyle (x*h)\downarrow 2\,}$ a ${\displaystyle (x*g)\downarrow 2\,}$ může mrhat výpočetním výkonem. Rychlý algoritmus, kde jsou tyto dva výpočty prokládány, se označuje jako lifting. V obou případech má však diskrétní vlnková transformace má lineární časovou složitost. To platí i v případě více úrovní rozkladu a vícerozměrných signálů (např. obrázků).

K dalšímu zvýšení frekvenčního rozlišení se tento rozklad opakuje. To může být znázorněno jako binární strom s uzly reprezentujícími podprostor s rozdílným umístěním času/frekvence. Takovýto strom se označuje jako banka filtrů.

Tři stupně DWT

Na každém stupni v diagramu výše je signál rozložen do nízkých (low) a vysokých (high) frekvencí. Pro úplný rozklad musí být vstupní signál násobkem ${\displaystyle 2^{n}}$, kde ${\displaystyle n}$ je počet stupňů rozkladu.

Například signál s 32 vzorky, frekvenčním rozsahem 0 až ${\displaystyle f_{n}}$ a 3 úrovněmi rozkladu, výstupem jsou 4 různá měřítka signálu:

Úroveň	Frekvence	Vzorky
3	${\displaystyle 0}$ až ${\displaystyle {f_{n}}/8}$	4
	${\displaystyle {f_{n}}/8}$ až ${\displaystyle {f_{n}}/4}$	4
2	${\displaystyle {f_{n}}/4}$ až ${\displaystyle {f_{n}}/2}$	8
1	${\displaystyle {f_{n}}/2}$ až ${\displaystyle f_{n}}$	16

Pokrytí frekvenčního spektra signálu koeficienty DWT

Dopředná (forward) jednorozměrná transformace:

void fwt(const double *const_input, double *output)
{
	static double input[LENGTH];
	memcpy(input, const_input, sizeof(double)*LENGTH);
	for (int length = LENGTH >> 1; ; length >>= 1) {
		for (int i = 0; i < length; i++) {
			output[       i] = (input[i*2] + input[i*2+1])/2;
			output[length+i] = (input[i*2] - input[i*2+1])/2;
		}
		if (length == 1)
			return;
		memcpy(input, output, sizeof(double)*length);
	}
}

Zpětná (inverzní) jednorozměrná transformace:

void iwt(const double *const_input, double *output)
{
	static double input[LENGTH];
	memcpy(input, const_input, sizeof(double)*LENGTH);
	for (int length = 1; ; length <<= 1) {
		for (int i = 0; i < length; i++) {
			output[i*2+0] = (input[i] + input[length+i]);
			output[i*2+1] = (input[i] - input[length+i]);
		}
		if (length == LENGTH >> 1)
			return;
		memcpy(input, output, sizeof(double)*length*2);
	}
}

Pozn. Rychlá implementace (pomocí schématu lifting) diskrétní vlnkové transformace s biortogonální vlnkou CDF 9/7 v jazyce C (použitá mj. ve standardu JPEG 2000) je k dispozici zde.