Vlnka

Musí mít konečnou energii.[1]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,\mathrm {d} t<\infty }$

Musí splňovat tzv. podmínku přípustnosti.[1]

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}\,\mathrm {d} \omega <\infty }$, kde ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ představuje Fourierovu transformaci funkce ${\displaystyle \psi \,}$ a ${\displaystyle C_{\psi }\,}$ se nazývá konstanta přípustnosti. Tato podmínka zaručuje invertibilitu vlnkové transformace.

Z podmínky přípustnosti plyne, že musí splňovat podmínku nulové střední hodnoty.[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,\mathrm {d} t=0}$

Funkce ${\displaystyle \psi }$ je nazývána mateřská vlnka. Její posunuté a roztažené (škálované, dilatované) normalizované verze jsou definovány následovně.

${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)}$

Původní mateřská vlnka má parametry ${\displaystyle a=1}$ a ${\displaystyle b=0}$. Posun je určen parametrem ${\displaystyle b}$, měřítko (dilatace) parametrem ${\displaystyle a}$.[2]

Integrální vlnková transformace funkce ${\displaystyle f}$ je pak dána předpisem

${\displaystyle \left[\operatorname {W} _{\psi }f\right](a,b)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t){\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}\,\mathrm {d} t\,}$,

kde ${\displaystyle a\in R^{+},b\in R}$

U vlnek se v závislosti na aplikaci posuzují zejména následující vlastnosti.

existence kompaktního nosiče

Vlnka s kompaktním nosičem má v čase svou energii lokalizovanou na konečném úseku. U diskrétních vlnek to znamená, že mají pouze na konečném úseku nenulové koeficienty. V případě neexistence kompaktního nosiče se hovoří o efektivním nosiči, tedy o intervalu, na kterém má vlnka nezanedbatelné hodnoty (energii). Platí, že čím kratší je nosič, tím rychlejší je výpočet transformace s touto vlnkou.

počet nulových momentů

Počet nulových momentů značí, že vlnka má prvních ${\displaystyle n}$ (od ${\displaystyle 0}$ po ${\displaystyle n-1}$) momentů nulových. Důsledkem toho je tato vlnka ortogonální na polynomy až do stupně ${\displaystyle n-1}$ (transformace bude v odpovídajících místech nulová). Z jiného pohledu je vlnka parciálním derivátorem (diferenciálním operátorem) řádu ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle k}$-tý moment vlnky je definován jako

${\displaystyle m(k)=\int t^{k}\,\psi (t)\,\mathrm {d} t}$.

hladkost

Další vlastností je hladkost (regularita) vlnky. Ta má význam zejména při ztrátové kompresi pomocí diskrétní formy vlnkové transformace, kde se koeficienty transformace kvantují (ztráta informace). Při rekonstrukci pak vzniká chyba ve tvaru vlnky. Jestliže byla tedy vlnka dostatečně hladká, bude chyba lidskému vnímání méně nápadná (komprese obrazu).

symetrie

V některých aplikacích je žádoucí použít symetrické (případně antisymetrické) vlnky, které mají lineární fázi. To znamená, že se nerozeběhnou koeficienty od místa výskytu odpovídajícího jevu.

tvorba báze

Existují vlnky, které jsou navrženy tak, že ačkoliv je jich spočetně mnoho (vznikají diskretizací parametrů ${\displaystyle a,b}$), tvoří bázi vektorového prostoru ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$. Tedy jakýkoliv signál (funkce) s konečnou energií lze vyjádřit jako lineární kombinace bázových waveletů. [3]

Výběr použité vlnky je závislý na konkrétní aplikaci. Ke zjištění polohy a trvání jevu je vhodné zohlednit podobnost tvaru vlnky s charakteristickými úseky signálu. Komplexní vlnky mohou dobře detekovat oscilace a umožňují současnou detekci amplitudy a fáze. Antisymetrické vlnky jsou vhodné k detekci změn gradientu. Symetrické vlnky nezpůsobují fázový posun. Krátký nosič znamená přesnější lokalizaci v čase (a horší ve frekvenci) a nižší výpočetní náročnost. Nedochází pak k rozmazání signálu (u měřítkové funkce). Naopak dlouhý nosič se projeví delší odezvou pro přechodové jevy. Speciálně pro signál, který je polynomem stupně ${\displaystyle k}$, je vhodné zvolit vlnku, která má ${\displaystyle k+1}$ nulových momentů.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu vlnka na Wikimedia Commons