Interval (matematika)

Reálné intervaly jsou důležité, protože představují číselný protějšek konvexních podmnožin přímky - úseček, polopřímek (případně bez jednoho nebo obou koncových bodů), celé přímky a prázdné množiny.

Průnik libovolné množiny intervalů je tedy opět interval. Průnik libovolné množiny uzavřených intervalů je uzavřený interval. Průnik konečného počtu otevřených intervalů je otevřený interval. Sjednocení souboru intervalů je zase interval, pouze pokud každý interval obsahuje společný bod s nějakým jiným intervalem souboru.

Typy intervalů

Intervaly reálných čísel mohou mít jeden z následujících tvarů (a, b jsou reálná čísla, kde ${\displaystyle a<b}$):

1. ${\displaystyle (a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}\,}$
2. ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\{x\,|\,a\leq x\leq b\}\,}$
3. ${\displaystyle \langle a,b)=\{x\,|\,a\leq x<b\}\,}$
4. ${\displaystyle (a,b\rangle =\{x\,|\,a<x\leq b\}\,}$
5. ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\,|\,a<x\}\,}$
6. ${\displaystyle \langle a,\infty )=\{x\,|\,a\leq x\}\,}$
7. ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\,|\,x<b\}\,}$
8. ${\displaystyle (-\infty ,b\rangle =\{x\,|\,x\leq b\}\,}$
9. ${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbf {R} \,}$, celá množina reálných čísel
10. ${\displaystyle \{a\}}$ v případě ${\displaystyle \langle a,a\rangle }$
11. prázdná množina ${\displaystyle \emptyset }$ v případě ${\displaystyle (a,a)\,}$, popř. když je levá mez vyšší než pravá.

Intervaly 1., 5., 7., 9. a 11. se označují jako otevřené intervaly (protože jsou to otevřené množiny), intervaly 2., 6., 8., 9., 10. a 11. jsou uzavřené intervaly (protože jsou to uzavřené množiny). Intervaly 3. a 4. se někdy označují jako polootevřené či polouzavřené nebo též zleva/zprava otevřené/uzavřené.

Intervalovou matematiku představil v roce 1956 M. Warmus. Tato aritmetika definuje operace nad intervaly tak, že

A ⊕ B = { x | ∃y ∈ A ∃z ∈ B x = y ⊕ z }

Pro běžné operace to znamená:

• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• (a,b) − (c,d) = (a−d, b−c)
• (a,b) ⋅ (c,d) = (min {ac, ad, bc, bd}, max {ac, ad, bc, bd})
• (a,b) : (c,d) = (min {a:c, a:d, b:c, b:d}, max {a:c, a:d, b:c, b:d})

Dělení intervalem, který obsahuje nulu, není definováno. Sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a poddistributivní (množina X (Y + Z) je podmnožinou XY + XZ).

V zahraničí je místo kulatých a lomených závorek často používána kombinace kulatých a hranatých (anglicky psaná literatura), nebo hranatých a převrácených hranatých závorek (francouzská lit.). Jejich použití je popsáno v normě ISO 31-11.

Příklad:

český zápis	anglický zápis	francouzský zápis
${\displaystyle \langle a,b\rangle }$	${\displaystyle [a,b]}$	${\displaystyle [a,b]}$	uzavřený interval
${\displaystyle \langle a,b)}$	${\displaystyle [a,b)}$	${\displaystyle [a,b[}$	zleva uzavřený, zprava otevřený interval
${\displaystyle (a,b\rangle }$	${\displaystyle (a,b]}$	${\displaystyle ]a,b]}$	zleva otevřený, zprava uzavřený interval
${\displaystyle (a,b)}$	${\displaystyle (a,b)}$	${\displaystyle ]a,b[}$	otevřený interval