Algebraický prvek

• Pro těleso racionálních čísel a jeho nadtěleso tvořené komplexními čísly jsou algebraickými prvky právě ta čísla označovaná jako algebraické číslo a transcendentními prvky právě ta čísla označovaná za transcendentní číslo.
• Druhá odmocnina ze dvou je algebraická nad tělesem racionálních čísel, neboť je kořenem mnohočlenu ${\displaystyle g(x)=x^{2}-2}$, jehož koeficienty jsou racionální čísla.
• Číslo π je transcendentní nad tělesem racionálních čísel, nicméně je algebraické nad tělesem reálných čísel, neboť je kořenem mnohočlenu ${\displaystyle g(x)=x-\pi }$, jehož kořeny jsou reálnými čísly (a tento příklad lze zřejmým způsobem zobecnit: transcendentní mohou být jen ty prvky nadtělesa L, které nejsou prvky tělesa K).

Následující podmínky jsou pro libovolný prvek a z nadtělesa L ekvivalentní:

• a je algebraické nad K
• tělesové rozšíření ${\displaystyle K(a)/K}$ je konečného stupně, tedy ${\displaystyle K(a)}$ coby vektorový prostor nad tělesem K je konečné dimenze (Značením ${\displaystyle K(a)}$ se rozumí nejmenší podtěleso L obsahující jak a, tak celé K).
• ${\displaystyle K[a]=K(a)}$, kde ${\displaystyle K[a]}$ označuje množinu všech prvků z L, které mohou být zapsány jako ${\displaystyle g(a)}$, kde g je nějaký mnohočlen s koeficienty z K.

Dále lze ukázat, že součet, rozdíl, násobek i podíl algebraických prvků nad K je zase algebraickým prvek nad K. Z toho plyne, že množina všech algebraických prvků nad K z tělesa L sama tvoří těleso, které obsahuje K a samo je obsaženo v L.

Pokud je a algebraické nad K, pak existuje mnoho nenulových mnohočlenů splňujících definici. Lze mezi nimi ovšem vybrat jediný, který z nich má nejmenší stupeň a jeho vedoucí koeficient je rovný jedné. Ten se označuje minimální polynom a jeho podoba obsahuje mnohé informace o povaze a.

Tělesa, která nelze rozšířit o další algebraické prvky, se nazývají algebraicky uzavřená. Příkladem takového tělesa je těleso komplexních čísel.