Výroková logika

Nechť ${\displaystyle P}$ je neprázdná množina symbolů nazývaných atomické výrokové formule (též výrokové proměnné). Abecedou jazyka výrokové logiky ${\displaystyle L_{P}}$ jsou prvky množiny ${\displaystyle P}$, symbol ${\displaystyle \neg }$ pro negaci a ${\displaystyle \Rightarrow }$ pro implikaci. Výrokové formule jazyka ${\displaystyle L_{P}}$ definujeme následovně:

1. Každá atomická výroková formule je též výroková formule.
2. Jestliže ${\displaystyle A}$ je výroková formule, je i ${\displaystyle \neg A}$ výroková formule.
3. Jsou-li ${\displaystyle A,B}$ výrokové formule, je i ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ výroková formule.
4. Formule vznikne konečným počtem užití pravidel 2 a 3.

Pro zkrácení zápisu dále používáme označení

• Konjunkce: ${\displaystyle A\land B}$ pro ${\displaystyle \neg (A\Rightarrow \neg B)}$
• Disjunkce: ${\displaystyle A\vee B}$ pro ${\displaystyle \neg A\Rightarrow B}$
• Ekvivalence: ${\displaystyle A\Leftrightarrow B}$ pro ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A)}$
• Exkluzivní disjunkce: ${\displaystyle A\oplus B}$ pro ${\displaystyle \neg (A\Leftrightarrow B)}$
• Tautologie: ${\displaystyle \top }$ pro ${\displaystyle A\Rightarrow A}$
• Kontradikce: ${\displaystyle \bot }$ pro ${\displaystyle \neg (A\Rightarrow A)}$
• NAND: ${\displaystyle A\uparrow B}$ pro ${\displaystyle \neg (A\land B)}$
• NOR: ${\displaystyle A\downarrow B}$ pro ${\displaystyle \neg (A\vee B)}$
• Obrácená implikace: ${\displaystyle A\Leftarrow B}$ pro ${\displaystyle B\Rightarrow A}$

Pravdivostní ohodnocení (též interpretace) atomických formulí je jakékoliv zobrazení ${\displaystyle v:P\to \{0,1\}}$. Rozšíření ${\displaystyle w}$ na výrokové formule definujeme induktivně takto:

1. ${\displaystyle w(A)=v(A)}$ je-li ${\displaystyle A}$ atomická formule
2. ${\displaystyle w(\neg A)=1-w(A)}$
3. ${\displaystyle w(A\Rightarrow B)=\max\{w(\neg A),w(B)\}}$

O formuli ${\displaystyle A}$ říkáme, že je splnitelná, pokud existuje takové ${\displaystyle w}$, že platí ${\displaystyle w(A)=1}$ (též značeno ${\displaystyle w\models A}$). V opačném případě o formuli říkáme, že je nesplnitelná.

O formuli ${\displaystyle B}$ říkáme, že je sémantickým důsledkem formule ${\displaystyle A}$, značeno ${\displaystyle A\models B}$ pokud pro každé ${\displaystyle w}$, takové že ${\displaystyle w\models B}$ platí i ${\displaystyle w\models A}$. Tato relace je částečným uspořádáním výrokových formulí.

Pro výrokovou logiku můžeme definovat jednoduchý deduktivní dokazovací systém sestávající ze tří schémat pro axiomy tvorbu axiomů a jediného odvozovacího pravidla.

• Obrázky, zvuky či videa k tématu výroková logika na Wikimedia Commons
• Volně stažitelná skripta z předmětu Výroková a predikátová logika na MFF UK od Petra Štěpánka