Ideál (teorie okruhů)

Množina ${\displaystyle \emptyset \neq I\subseteq R}$, kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

• pro každé ${\displaystyle a,b\in I}$ je také ${\displaystyle a-b\in I}$
• pro každé ${\displaystyle a\in I}$ a každé ${\displaystyle r\in R}$ je také ${\displaystyle r\cdot a\in I}$ resp. ${\displaystyle a\cdot r\in I}$

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

• V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
• Každá podmnožina tvaru ${\displaystyle (a)=\{a\cdot r;r\in R\}}$ je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
• V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
• Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé ${\displaystyle a\in I}$ a každé ${\displaystyle r\in R}$ je také ${\displaystyle r\cdot a\in I}$ resp. ${\displaystyle a\cdot r\in I}$. Stačí volit třeba ${\displaystyle a=3,r={\frac {1}{2}}}$, pak ${\displaystyle 3\in Z}$ a ${\displaystyle 3\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}\notin Z}$

• průnik ideálů I,J je ideál ${\displaystyle I\cap J}$, který je největším ideálem, obsaženým v obou ideálech I,J.
• součet ideálů I,J je ideál ${\displaystyle \,I+J=\{i+j;i\in I,j\in J\}}$, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
• součin ideálů I,J je ideál ${\displaystyle I\cdot J=\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k};n\in N,a_{k}\in I,b_{k}\in J\}}$

• Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li ${\displaystyle I\neq R}$ a pro každý ideál J, že ${\displaystyle I\subseteq J}$, je I = J nebo J = R.
• Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé ${\displaystyle a,b\in R}$ takové, že ${\displaystyle a\cdot b\in I}$, je buďto ${\displaystyle a\in I}$ nebo ${\displaystyle b\in I}$.
• Jsou-li ${\displaystyle a_{1},a_{2},}$ … , ${\displaystyle a_{k}}$ libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. ${\displaystyle (\forall r_{1},r_{2},}$… , ${\displaystyle r_{k}\in R)}$ ${\displaystyle a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+}$… ${\displaystyle +a_{k}r_{k}\in I}$.

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

• Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
• Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
• Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť ${\displaystyle M=\{a_{1},a_{2},}$… ${\displaystyle ,a_{k}\subseteq R\}}$. Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru ${\displaystyle (\forall r_{1},r_{2},}$… , ${\displaystyle r_{k}\in R)}$ ${\displaystyle a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+}$… ${\displaystyle +a_{k}r_{k}\in I}$, tj. [M] = I, kde ${\displaystyle I=\{a_{1}r_{1}+a_{2}r_{2}+}$… ${\displaystyle +a_{k}r_{k};r_{1},r_{2},}$… ${\displaystyle ,r_{k}\in R\}}$.

Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: ${\displaystyle x\cdot f_{1}(x)+2\cdot f_{2}(x)}$ kde ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)\in Z[x]}$.

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+}$… ${\displaystyle +a_{x}x^{n}\in Z[x]}$, jejíž člen a₀ je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].