Ideál (teorie uspořádání)

Máme-li množinu ${\displaystyle X\,\!}$ uspořádanou relací ${\displaystyle R\,\!}$, pak o její podmnožině ${\displaystyle Y\subseteq X\,\!}$ řekneme, že je ideál vzhledem k ${\displaystyle R\,\!}$, pokud je ${\displaystyle Y\,\!}$ nahoru usměrněná dolní množina v ${\displaystyle X\,\!}$ .

Podrobněji:

• aby byla ${\displaystyle Y\subseteq X\,\!}$ dolní, musí s každým svým prvkem obsahovat i všechny menší prvky: ${\displaystyle a\in Y\land b\leq _{R}a\implies b\in Y\,\!}$
• aby byla ${\displaystyle Y\subseteq X\,\!}$ nahoru usměrněná, musí s každými dvěma prvky obsahovat nějaký prvek větší než oba: ${\displaystyle a,b\in Y\implies (\exists c\in Y)(a\leq _{R}c\land b\leq _{R}c)\,\!}$

• Prázdná množina ${\displaystyle \emptyset \subseteq X\,\!}$ je ideál.
• Pokud má množina ${\displaystyle X\,\!}$ největší prvek, pak je sama sobě ideálem - určitě je sama v sobě dolní a díky existenci největšího prvku navíc i nahoru usměrněná.

Prázdná množina a celá podkladová množina ${\displaystyle X\,\!}$ nejsou příliš zajímavé ideály, a jsou proto z uvažování o ideálech obvykle vylučovány. Je zaváděn pojem vlastní ideál jako každý ideál kromě prázdné množiny a celé množiny a mluví-li se o ideálech, rozumí se tím pouze vlastní ideály.

• V množině ${\displaystyle \mathbb {R} \,\!}$ všech reálných čísel uspořádaných běžným způsobem podle velikosti je každý zdola neomezený interval (ať již shora otevřený nebo shora uzavřený) ideálem.
• Obecněji: pokud je ${\displaystyle R\,\!}$ lineární uspořádání, pak je každá dolní množina ideál.

Pro lineární uspořádání se tedy ideály redukují na dolní množiny. Zajímavější je situace pro uspořádání, která nejsou lineární, viz následující oddíl Ideály na potenční množině.

Duálním pojmem k pojmu ideál je v teorii uspořádání filtr. Veškeré úvahy a poznatky o ideálech lze (v duální podobě) aplikovat na filtry a naopak. Dalo by se říci, že článek o filtrech je duální k tomuto článku.

Jako potenční algebra je obvykle označována potenční množina ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$ všech podmnožin množiny ${\displaystyle X\,\!}$ s operacemi sjednocení, průniku a doplňku a s uspořádáním relací „být podmnožinou“ ${\displaystyle \subseteq \,\!}$

Co musí splňovat množinový systém ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!}$ , aby byl vlastním ideálem?

• S každým svým prvkem musí ${\displaystyle A\,\!}$ obsahovat i všechny podmnožiny tohoto prvku.
• Pro každé dva své prvky musí ${\displaystyle A\,\!}$ obsahovat i jejich sjednocení.
• Nesmí to být ani prázdná množina, ani celá množina ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$.

• Prvoideál
• Filtr
• Základní věta o ultrafiltrech
• Ideál (algebra)