Slabá kardinální mocnina

Jsou-li ${\displaystyle \kappa \,\!}$ a ${\displaystyle \lambda \,\!}$ dvě kardinální čísla, pak jejich slabou kardinální mocninu označujeme symbolem ${\displaystyle \kappa ^{<\lambda }\,\!}$ a definujeme vztahem
${\displaystyle \kappa ^{<\lambda }=\sum _{\mu <\lambda }\kappa ^{\mu }\,\!}$ , tj. jako součet všech kardinálních mocnin ${\displaystyle \kappa \,\!}$ s exponentem menším než ${\displaystyle \lambda \,\!}$.

Při řešení otázek týkajících se mohutnosti množin se zavádějí dvě speciální podmnožiny potenční množiny:

• ${\displaystyle [X]^{\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|=\lambda \}\,\!}$
• ${\displaystyle [X]^{<\lambda }=\{Y\subseteq X:|Y|<\lambda \}\,\!}$

Řečeno lidsky: množina všech podmnožin množiny ${\displaystyle X\,\!}$ s mohutností přesně ${\displaystyle \lambda \,\!}$ a množina všech podmnožin množiny ${\displaystyle X\,\!}$ s mohutností menší než ${\displaystyle \lambda \,\!}$

Otázku, jakou má taková množina mohutnost, zodpovídá ve druhém případě právě slabá kardinální mocnina:
Pokud platí ${\displaystyle |X|=\kappa \,\!}$ a ${\displaystyle \lambda \leq \kappa ^{+}\,\!}$ (symbol ${\displaystyle \kappa ^{+}\,\!}$ je nejmenší kardinální číslo větší než ${\displaystyle \kappa \,\!}$), potom
${\displaystyle |[X]^{<\lambda }|=\kappa ^{<\lambda }\,\!}$

V článku Kardinální aritmetika je vidět, jak málo toho lze zjistit o chování kardinální mocniny, pokud k axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nepřidáme zobecněnou hypotézu kontinua nebo nějaké jí podobné tvrzení.

Alespoň částečnou představu o průběhu kardinálních mocnin dvojky dává pro regulární kardinály funkce gimel, pro singulární kardinály pak funkce gimel v kombinaci se slabou kardinální mocninou:

Je-li ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ singulární kardinál, ${\displaystyle \beta <\alpha \,\!}$ takové, že pro každé ${\displaystyle \beta \leq \gamma <\alpha \,\!}$ platí ${\displaystyle \aleph _{\gamma }=\aleph _{\beta }}$, potom
${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\beta }}=2^{<\aleph _{\alpha }}\,\!}$

Je-li ${\displaystyle \aleph _{\alpha }\,\!}$ singulární kardinál a pro každé ${\displaystyle \beta <\alpha \,\!}$ existuje ${\displaystyle \beta <\gamma <\alpha \,\!}$, pro které platí ${\displaystyle \aleph _{\gamma }>\aleph _{\beta }}$, potom
${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\gimel (2^{<\aleph _{\alpha }})\,\!}$

• Kardinální aritmetika
• Funkce alef
• Funkce gimel
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů