Relační algebra

Množinové operátory fungují v podstatě stejně jako v teorii množin. V relační algebře se však na operandy některých množinových operaci kladou speciální požadavky. Především, operandy sjednocení a rozdílu (primitivních operací relační algebry) množin musí být kompatibilní, tzn. musí mít stejnou n-tici atributů. Zjednodušeně řečeno, pokud si relaci představíme jako databázovou tabulku, není možné provést sjednocení dvou tabulek v případě, že mají různé hlavičky.

Kompatibilita operandů se požaduje i v případě průniku, jelikož průnik se, jako odvozený operátor, definuje na základě sjednocení a rozdílu:

${\displaystyle A\cap B=(A\cup B)\setminus ((A\setminus B)\cup (B\setminus A)).}$

Kartézský součin v relační algebře sice sleduje základní myšlenku z teorie množin, je však definován odlišně. Neformálně řečeno, klasický kartézský součin by z n a m relace vytvořil množinu dvojic, kde každá dvojice obsahuje jednu n-tici a jednu m-tici. Kartézský součin v relační algebře ale z těchto dvou relaci vytvoří odpovídající množinu n + mtuples. Formálně řečeno, kartézský součin se v relační algebře definována takto:

${\displaystyle R\times S=\{[x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}]\ |\ X=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R\ \land \ Y=(y_{1},\ldots ,y_{m})\in S\}.}$

Projekce je relační operace, která intuitivně odpovídá výběru sloupců z tabulky (tedy se omezíme pouze na některé atributy). Jde tedy o unární operaci ${\displaystyle \Pi _{\mathbf {X} }(R)}$, kde X je množina názvů atributů. Výsledkem je stejná relace omezena na atributy z X.

Selekce je unární relační operace ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {X} }(R)}$ odpovídající výběru řádků z tabulky na základě nějakého kritéria. Ať ${\displaystyle R}$ je relace typu ${\displaystyle R(\mathbf {X} )}$, ať ${\displaystyle \varphi (\mathbf {X} )}$ je predikátová formule hovořící o jednotlivých prvcích a jejich příslušnostech do relací, která kromě predikátů obsahuje pouze logické spojky ${\displaystyle \lnot ,\lor ,\land }$. Pak:

${\displaystyle \sigma _{\varphi (\mathbf {X} )}(R)=\{\mathbf {X} \ |\ R(\mathbf {X} )\land \varphi (\mathbf {X} )\}.}$

Operace přejmenování, která se značí ${\displaystyle \rho _{a/b}(R)}$, má víceméně jen formální význam a využívá se zejména v souvislosti s join. Operace ${\displaystyle \rho _{a/b}(R)}$ přejmenuje atribut a na b.

Join (značí se ${\displaystyle R\bowtie S}$) slouží ke spojování relací. Spojení relací lze uskutečnit i bez nového operátoru, jen pomocí kartézského součinu, ale jeho použití může být v mnoha případech paměťově neefektivní. Výsledkem je množina všech kombinací prvků relace R a S , které se shodují na společných atributech. Například:

Relace 1 Atribut 1 Atribut 2 Atribut 3 1 A a 2 B b 3 C a 4 D b

Relace 2 Atribut 3 Atribut 4 a 3 b 4 c 5

Relace 1${\displaystyle \bowtie }$Relace 2 Atribut 1 Atribut 2 Atribut 3 Atribut 4 1 A a 3 2 B b 4 3 C a 3 4 D b 4

Takto definovaný join se přesněji nazývá přirozený join. Existuje několik variant operace join, jako např. Outer-join, semijoin apod.

Relační algebra podporuje pět agregačních funkcí, které jsou implementovány ve většině databázových systémů. Tyto jsou: sum (součet hodnot), count (počet prvků), average (průměr), maximum a minimum. Samotná agregace se v relační algebře zapisuje pomocí agregačního operátora ${\displaystyle \Gamma }$ následujícím způsobem:

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {X} }(R)}$,

Kde pro všechny ${\displaystyle X\in \mathbf {X} }$ platí, že X je buď atribut (tzv. seskupovací atribut) nebo je tvaru AGG (Y) (agregovaný atribut), kde AGG je některá z pěti uvedených agregačních funkcí a Y je atribut. Operátor ${\displaystyle \Gamma }$ nejprve rozdělí pořad R na skupiny tak, že všechny řádky v každé skupině mají stejné hodnoty grupovacích atributů. Následně pro každou ze skupin vypočítá hodnoty agregovaných atributů a výsledkem je tabulka, která pro každou takovou skupinu obsahuje právě jeden řádek obsahující grupovacie atributy a hodnoty daných agregačních funkcí.