QR rozklad

Pokud má matice ${\displaystyle A}$ lineárně nezávislé sloupce, pak

${\displaystyle A=QR=[Q_{1},Q_{2}]\left[{\begin{array}{c}R_{1}\\0\end{array}}\right]=Q_{1}R_{1}}$,

kde ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{m\times m},\;Q^{H}Q=QQ^{H}=I_{m}}$ je unitární (v reálném případě ortogonální) matice, ${\displaystyle Q_{1}\in \mathbb {F} ^{m\times n},\;R\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$ a ${\displaystyle R_{1}\,\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$ je horní trojúhelníková regulární matice.

Označme ${\displaystyle a_{j},\;q_{j},\;j=1,\ldots ,n}$, sloupce matic ${\displaystyle A,\;Q_{1}}$, platí

${\displaystyle \mathrm {span} (a_{1},\ldots ,a_{j})=\mathrm {span} (q_{1},\ldots ,q_{j}),\quad j=1,\ldots ,n}$,

přičemž ${\displaystyle \mathrm {span} (\cdot )}$ značí lineární obal. Tedy ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)={\mathcal {R}}(Q_{1})}$ a ${\displaystyle Q_{1}}$ obsahuje ortonormální bázi prostoru generovaného sloupci matice ${\displaystyle A}$.

Pokud navíc volíme diagonální prvky matice ${\displaystyle R_{1}}$ kladné, je QR pak rozklad

${\displaystyle A=Q_{1}R_{1}}$

jednoznačný. Je-li ${\displaystyle m=n}$, tedy je-li ${\displaystyle A}$ regulární, pak ${\displaystyle Q_{2}}$ a nulový blok v matici ${\displaystyle R}$ neexistují, ${\displaystyle Q_{1}=Q,\;R_{1}=R}$, a tedy i QR rozklad ${\displaystyle A=QR}$ lze volit jednoznačný.

Pokud má rozkládaná matice lineárně závislé sloupce, QR rozklad zpravidla uvažujeme tak, aby i nadále platilo ${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)={\mathcal {R}}(Q_{1})}$. Nechť ${\displaystyle A\in \mathbb {F} ^{m\times n},\;\mathrm {rank} (A)=r}$, pak

${\displaystyle A=QR=[Q_{1},Q_{2}]\left[{\begin{array}{c}R_{1}\\0\end{array}}\right]=Q_{1}R_{1}}$,

kde oproti předchozímu případu ${\displaystyle Q_{1}\in \mathbb {F} ^{m\times r}}$ a ${\displaystyle R_{1}\in \mathbb {F} ^{r\times n}}$ je v horním schodovitém tvaru (pokud je ${\displaystyle m\leq n}$ pak blok ${\displaystyle Q_{2}}$ a nulový blok v matici ${\displaystyle R}$ neexistují).

Vždy existuje permutace sloupců matice ${\displaystyle A}$ realizovaná permutační maticí ${\displaystyle \Pi }$ tak, že

${\displaystyle A\Pi =QR=[Q_{1},Q_{2}]\left[{\begin{array}{c}R_{1}\\0\end{array}}\right]=[Q_{1},Q_{2}]\left[{\begin{array}{cc}R_{11}&R_{12}\\0&0\end{array}}\right]=Q_{1}[R_{11},R_{12}]}$,

kde ${\displaystyle R_{11}\in \mathbb {F} ^{r\times r}}$ je horní trojúhelníková regulární matice, kterou lze volit tak, že její diagonální prvky jsou kladné.