Ortogonální matice

Uvažujme matici

${\displaystyle Q\in \mathbb {R} ^{n\times n},}$

která je ortogonální, tedy

${\displaystyle Q^{T}=Q^{-1}.}$

Označme ${\displaystyle q_{j},\;j=1,\ldots ,n}$, její sloupce,

${\displaystyle Q=[q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}].}$

Z rovnosti

${\displaystyle Q^{T}Q=Q^{-1}Q=I}$

ihned plyne

${\displaystyle q_{j}^{T}q_{k}=\langle q_{k},q_{j}\rangle =0\qquad \Longleftrightarrow \qquad j\neq k,}$

${\displaystyle q_{j}^{T}q_{k}=\langle q_{k},q_{j}\rangle =1\qquad \Longleftrightarrow \qquad j=k,}$

přičemž ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$ značí standardní (eukleidovský) skalární součin.

Tedy vektory ${\displaystyle q_{j},\;j=1,\ldots ,n}$, tj. sloupce ortogonální matice ${\displaystyle Q}$ jsou navzájem ortonormální.

Vzhledem k tomu, že inverzní matice ${\displaystyle Q^{-1}}$ k dané matici ${\displaystyle Q}$ je určena jednoznačně a komutuje s ní, tj. platí

${\displaystyle Q^{-1}Q=I=QQ^{-1},}$

pak pro ortogonální matici platí

${\displaystyle Q^{T}Q=I=QQ^{T},}$

a stejnou úvahu, kterou jsme uplatnili na sloupce, můžeme zcela analogicky uplatnit i na její řádky.

Tedy řádky ortogonální matice ${\displaystyle Q}$ jsou také navzájem ortonormální.

V současné literatuře z oblasti lineární algebry a maticových výpočtů se setkáváme převážně s názvem ortogonální matice, navzdory tomu, že její sloupce, resp. řádky, jsou ortonormální.

Ve starší literatuře, nebo literatuře z jiných oborů (kde se s těmito maticemi setkáváme v nejrůznějších aplikacích) se můžeme z výše uvedeného důvodu setkat i názvem ortonormální matice.

• Ortogonalita, Ortonormalita
• QR rozklad
• Gramova-Schmidtova ortogonalizace
• Ortogonální grupa