QR algoritmus

QR algoritmus (také QR transformace) je numerická metoda pro výpočet vlastních čísel obecné regulární matice $A$ založená na principu QR rozkladu. Výhodou algoritmu je numerická stabilita.

Algoritmus

Nechť $A=QR$ , kde $Q$ je ortogonální matice a $R$ je horní trojúhelníková matice. Pak matice $B=RQ$ je podobná matici $A$ : $B=RQ\implies Q^{-1}B=R\implies A=Q^{-1}BQ=Q^{T}BQ$ . Z podobnosti plyne, že tyto matice mají stejná vlastní čísla.

algoritmus:

$k:=0,A_{k}$ je zadaná matice
provedeme rozklad $A_{k}=Q_{k}R_{k}$
vypočteme $A_{k+1}=R_{k}Q_{k}$
pokud je $A_{k+1}$ trojúhelníková matice, její vlastní čísla se nacházejí na její diagonále. Jinak definujeme $k:=k+1$ a pokračujeme druhým krokem algoritmu.

V každé iteraci algoritmu volíme $Q_{k}$ tak, aby anulovala jeden prvek matice $A_{k}$ pod diagonálou. Možným postupem pro volbu $Q_{k}$ je Givensova matice rotace $G(p,q,\theta )$ , kde $p,q$ jsou řádek a sloupec anulovaného prvku. Pro tuto matici je potřeba správně nalézt úhel $\theta$ , který prvek anuluje. Pořadí anulovaných prvků může být např. podle indexů nebo podle velikosti prvku v absolutní hodnotě (vždy ten největší).

Jacobiova diagonalizace

Speciálním případem QR transformace je Jacobiova diagonalizace pojmenovaná po matematikovi Carlu Gustavu Jacobu Jacobiovi. Tento případ nastává, pokud je matice $A$ navíc symetrická. Při volbě $Q_{k}=G(p,q,\theta )$ dochází k anulaci nejen prvku $a_{pq}$ , ale také prvku $a_{qp}$ . Výsledkem je pak diagonální matice podobná $A$ .

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku QR algorithm na anglické Wikipedii.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.