Formule (logika)
Formule (také predikátová formule, srov. výroková formule) je v matematice a logice syntaktický pojem reprezentující nějaké (matematické) tvrzení v jisté formální teorii predikátové logiky prvního řádu.
Definice
Nechť L je jazyk. V následující definici uvažujeme pouze dvě logické spojky a a jeden kvantifikátor . Zbylé spojky a kvantifikátor lze zavést definicemi.
Term
Termy jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina termů je nejmenší množina splňující:
- Každá proměnná je term.
- Každý konstantní symbol c jazyka L je term.
- Kdykoli F je n-ární funkční symbol jazyka L a jsou termy, pak je term.
- Nic, co nevzniklo pomocí předchozích pravidel, není term, neboli každý term vznikne konečným použitím tří výše uvedených pravidel
Atomická formule
Atomická formule jazyka L je výraz tvaru , kde P je n-ární predikátový symbol jazyka L a jsou termy nebo (jde-li o logiku s rovností) tvaru , kde jsou termy.
Formule
Formule jazyka L jsou definovány indukcí podle složitosti takto: Množina formulí je nejmenší množina splňující:
- Každá atomická formule je formule
- Když je formule, x proměnná, pak a jsou formule.
- Když jsou formule, pak je formule.
Uzavřená a otevřená formule
Formule se nazývá otevřená, neobsahuje-li žádný kvantifikátor, a uzavřená, je-li každá proměnná v ní obsažená kvantifikována (tj. je na ni aplikován některý kvantifikátor). Uzavřená formule se nazývá též sentence.
Například:
- formule je otevřená ale ne uzavřená
- formule je uzavřená ale ne otevřená
- formule není ani otevřená ani uzavřená
- formule je otevřená i uzavřená
Volná a vázaná proměnná, substituovatelnost
Podformulí formule je každá formule, která je částí formule .
Říkáme, že proměnná x je vázaná ve formuli , jestliže existuje podformule formule ve tvaru . Říkáme, že proměnná x je volná ve formuli , jestliže x má výskyt v nějaké podformuli formule takové, že není podformulí žádné formule tvaru .
Říkáme, že term t je substituovatelný za proměnnou x do formule , jestliže x není volná v žádné podformuli tvaru , kde proměnná y má výskyt v termu t. Tedy, pokud náš term t obsahuje proměnnou y, která je v místě substituce vázaná, musí tam být i x vázaná.
Je-li x proměnná, t term a formule, značí formuli, která vznikne nahrazením (substitucí) termu t za každý volný výskyt proměnné x v .
Otevřené formule nemají vázané proměnné, uzavřené formule nemají volné proměnné.