Polární rozklad

Uvažujme ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ a její singulární rozklad

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T},\qquad U^{-1}=U^{T},\;V^{-1}=V^{T},\;\Sigma =\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

kde matice ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou ortogonální a matice ${\displaystyle \Sigma }$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\geq \ldots \geq \sigma _{n}\geq 0.}$

Vložením šikovně rozepsané jednotkové matice, ${\displaystyle I=U^{T}U=V^{T}V}$, na vhodné místo do singulárního rozkladu, získáme hledaný polární rozklad. Možnosti jsou dvě, buď

${\displaystyle A=(U\Sigma U^{T})(UV^{T})=M_{U}Q,}$

kde

${\displaystyle M_{U}=U\Sigma U^{T}}$

je symetrická pozitivně semidefinitní (je-li ${\displaystyle \sigma _{n}>0}$, tj. je-li ${\displaystyle A}$ regulární, pak je symetrická pozitivně definitní) a

${\displaystyle Q=UV^{T}}$

je ortogonální. Případně

${\displaystyle A=(UV^{T})(V\Sigma V^{T})=QM_{V},}$

kde

${\displaystyle M_{V}=V\Sigma V^{T}}$

je opět symetrická pozitivně (semi)definitní.

Zcela analogicky uvažujme ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ a její singulární rozklad

${\displaystyle A=U\Sigma V^{H},\qquad U^{-1}=U^{H},\;V^{-1}=V^{H},\;\Sigma =\mathrm {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

kde matice ${\displaystyle U}$ a ${\displaystyle V}$ jsou unitární a matice ${\displaystyle \Sigma }$ je diagonální s nezápornými čísly na diagonále tak, že platí

${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}\geq \ldots \geq \sigma _{n}\geq 0.}$

Polární rozklad lze opět vyjádřit dvěma způsoby, buď

${\displaystyle A=(U\Sigma U^{H})(UV^{H})=M_{U}Q,}$

kde

${\displaystyle M_{U}=U\Sigma U^{H}}$

je hermitovská pozitivně semidefinitní (je-li ${\displaystyle \sigma _{n}>0}$, tj. je-li ${\displaystyle A}$ regulární, pak je hermitovská pozitivně definitní) a

${\displaystyle Q=UV^{H}}$

je unitární. Případně

${\displaystyle A=(UV^{H})(V\Sigma V^{H})=QM_{V},}$

kde

${\displaystyle M_{V}=V\Sigma V^{H}}$

je opět hermitovská pozitivně (semi)definitní.

Je-li matice obdélníková, ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ (${\displaystyle \mathbb {C} ^{m\times n}}$) a ${\displaystyle m<n}$, matice má tedy více sloupců než řádků, lze ji, zcela analogickým postupem jako v předchozích případech zapsat jako součin

${\displaystyle A=M_{U}Q}$

kde ${\displaystyle M_{U}}$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice ${\displaystyle Q}$ má ortonormální řádky.

Pokud je ${\displaystyle m>n}$, tedy matice má více sloupců než řádků, lze ji zapsat jako součin

${\displaystyle A=QM_{V}}$

kde ${\displaystyle M_{V}}$ je symetrická (hermitovská) pozitivně (semi)definitní a matice ${\displaystyle Q}$ má ortonormální sloupce.

Matice ${\displaystyle M_{U}}$, respektive ${\displaystyle M_{V}}$ je regulární, pokud má matice ${\displaystyle A}$ má lineárně nezávislé řádky, respektive sloupce.

Následující vztahy uvádíme pouze pro komplexní případ, reálný případ je zcela analogický.

Obecně, je-li matice ${\displaystyle A}$ čtvercová, nebo obdélníková s více sloupci než řádky, platí

${\displaystyle M_{U}={\sqrt {AA^{H}}}={\sqrt {(M_{U}Q)(M_{U}Q)^{H}}}={\sqrt {(M_{U}Q)(Q^{H}M_{U}^{H})}}={\sqrt {M_{U}M_{U}}}={\sqrt {M_{U}^{2}}}.}$

Je-li matice čtvercová, nebo obdélníková s více řádky než sloupci, platí

${\displaystyle M_{V}={\sqrt {A^{H}A}}={\sqrt {(QM_{V})^{H}(QM_{V})}}={\sqrt {(M_{V}^{H}Q^{H})(QM_{V})}}={\sqrt {M_{V}M_{V}}}={\sqrt {M_{V}^{2}}}.}$

Viz definici odmocniny z matice.

Rozklady

${\displaystyle M_{U}=U\Sigma U^{H}\qquad {\text{a}}\qquad M_{V}=V\Sigma V^{H}}$

představují zároveň Schurovy i Jordanovy rozklady matic ${\displaystyle M_{U}}$ a ${\displaystyle M_{V}}$.

Singulární čísla ${\displaystyle \sigma _{j}}$, ${\displaystyle j=1,\ldots ,\min\{m,n\}}$ matice ${\displaystyle A}$ tedy představují vlastní čísla matic ${\displaystyle M_{U}}$ a ${\displaystyle M_{V}}$.

Polární rozklad (reálné čtvercové regulární matice) nachází uplatnění zejména v klasické mechanice, kde slouží, v maticovém popisu, k oddělení deformace tělesa (reprezentované symetrickou pozitivně definitní maticí) od pohybu tuhého tělesa, přesněji změny souřadného systému (reprezentované ortogonální maticí).

• Singulární rozklad
• Maticová funkce
• Schurův rozklad
• Jordanův rozklad

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6. (Kapitola 5.8, Polární rozklad a exponenciální tvar čtvercové matice, str. 142-143)
• M. Fiedler: Speciální matice a jejich užití v numerické matematice. SNTL, Státní nakladatelství technické literatury, edice TKI, Teoretická knižnice inženýra, 1981. (Věta 2.29, str. 63)