Ortogonalita

Systém funkcí ${\displaystyle f_{n}}$ je v intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ortogonální s váhou ${\displaystyle w(x)}$, kde ${\displaystyle w(x)\geq 0}$, pokud pro každou dvojici ${\displaystyle f_{i}(x),f_{k}(x)}$ platí

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f_{i}(x)f_{k}(x)\mathrm {d} x=0\;{\mbox{ pro }}i\neq k}$.

Funkci f nazýváme normovanou s váhou ${\displaystyle w(x)}$, jestliže platí

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f^{2}(x)\mathrm {d} x=1}$

Systém funkcí ${\displaystyle f_{n}}$ ortogonální s váhou ${\displaystyle w(x)}$, kde každá funkce ${\displaystyle f_{n}}$ je normovaná s váhou ${\displaystyle w(x)}$, nazýváme ortonormální (ortonormovaný) s váhou ${\displaystyle w(x)}$.

Systémy ortogonálních funkcí v prostoru ${\displaystyle L_{2}}$ našly praktické uplatnění především v kvantové mechanice.

Funkce ${\displaystyle f,g\in L_{2}(a,b)}$ označujeme jako ortogonální v prostoru ${\displaystyle L_{2}(a,b)}$ (na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$), pokud platí

${\displaystyle (f,g)=0}$,

přičemž skalární součin v předchozím vztahu vyjadřujeme jako

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x=0}$

Funkci f nazýváme normovanou v prostoru ${\displaystyle L_{2}(a,b)}$, je-li její norma rovna jedné, tzn.

${\displaystyle \|f\|=1}$

Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí ${\displaystyle f_{n}\in L_{2}(a,b)}$, pak říkáme, že tento systém je ortogonální v ${\displaystyle L_{2}(a,b)}$, pokud pro každou dvojici funkcí ${\displaystyle f_{i},f_{k}}$ platí

${\displaystyle (f_{i},f_{k})=0\;{\mbox{ pro }}i\neq k}$.

Je-li navíc každá funkce ${\displaystyle f_{n}}$ normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ortonormovaný (ortonormální). V takovém případě platí

${\displaystyle (f_{i},f_{k})=\delta _{ik}}$,

kde ${\displaystyle \delta _{ik}}$ je Kroneckerovo delta.

Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce ${\displaystyle f_{n}}$ platí, ${\displaystyle \|f_{n}\|\neq 0}$, pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením ${\displaystyle g_{n}(x)={\frac {f_{n}(x)}{\|f_{n}\|}}}$.