Oddělovací axiom

Než definujeme samotné oddělovací axiomy, uvedeme konkrétní význam konceptu oddělených množin (a bodů) v topologických prostorech. (Oddělené množiny nejsou totéž jako oddělené prostory definované v další části.)

Oddělovací axiomy jsou topologickým nástrojem pro rozlišování disjunktních množin a různých bodů. Pro prvky topologického prostoru nestačí, aby byly různé (tj. neidentické); chceme, aby byly topologicky rozlišitelné. Podobně nestačí, aby podmnožiny topologického prostoru byly disjunktní; chceme, aby byly (jistým způsobem) oddělené. Všechny oddělovací axiomy určitým způsobem říkají, že body nebo množiny, které jsou rozlišitelné nebo oddělené v nějakém slabším smyslu, musí také být rozlišitelné nebo oddělené v nějakém silnějším smyslu.

Nechť X je topologický prostor. Pak dva body x a y prostoru X jsou topologicky rozlišitelné, pokud nemají stejná okolí (nebo ekvivalentně stejná otevřená okolí); což znamená, že alespoň jeden z nich má okolí, které není okolím druhého (nebo ekvivalentně, že existuje otevřená množina, do které jeden bod patří a druhý ne).

Dva body x a y jsou oddělené, pokud každý z nich má okolí, které není okolím druhého; což znamená, že žádný není prvkem uzáběru druhého. Obecněji dvě podmnožiny A a B prostoru X jsou oddělené, pokud je každá disjunktní s uzávěrem druhé (samy uzávěry disjunktní být nemusí). Všechny zbývající podmínky pro separaci množin mohou být aplikovány také na body (nebo na bod a množinu) použitím jednoprvkových množin. Body x a y budeme považovat za oddělené, oddělené okolími, oddělené uzavřenými okolími, oddělené spojitou funkcí, přesně oddělené funkcí, právě tehdy, když jejich jednoprvkové množiny {x} a {y} jsou oddělené podle odpovídajících kritérií.

Podmnožiny A a B jsou oddělený okolími, pokud mají disjunktní okolí. Jsou oddělené uzavřenými okolími, pokud mají disjunktní uzavřená okolí. Jsou oddělené spojitou funkcí, pokud existuje spojité zobrazení f z prostoru X na reálnou osu R takové, že pro jejich obrazy platí, že f(A) je rovno {0} a f(B) je rovno {1}. A konečně jsou přesně odděleny spojitou funkcí, pokud existuje spojitá funkce f z X do R taková, že vzorem f⁻¹({0}) je A a vzorem f⁻¹({1}) je B.

Tyto podmínky jsou zde uvedeny v pořadí podle zvýšující se síly: jakékoli dva topologicky rozlišitelné body musí být různé, a jakékoli dva oddělené body musí být topologicky rozlišitelné. Jakékoli dvě oddělené množiny musí být disjunktní, jakékoli dvě množiny oddělené okolími musí být oddělené, atd.

Další informace o těchto podmínkách (včetně jejich používání mimo oddělovací axiomy) je uvedeno v článcích Oddělené množiny a Topologická rozlišitelnost.

Všechny tyto definice používají v zásadě předběžné definice uvedené výše.

Mnoho těchto názvů má u některých autorů jiný význam, jak je vysvětleno v článku Historie separačních axiomů; například význam názvů „normální“ a „T₄“ jsou někdy prohozeny, podobně „regulární“ a „T₃“ atd. Mnoho konceptů má několik názvů; u názvu, který uveden jako první, je nejméně pravděpodobné, že bude nejednoznačný.

Většina těchto axiomů má alternativní definice se stejným významem; zde uvedené definice tvoří konzistentním vzorek, který ukazuje souvislost různých pojmů separace definovaných v předchozí části. Jiné možné definice lze nalézt v jednotlivých článcích.

Ve všech následujících definicích je X vždy topologický prostor.

• X je T₀ neboli Kolmogorovův, pokud jakékoli dva různé body v X jsou topologicky rozlišitelné. (U oddělovacích axiomů je běžné, že existuje jedna verze axiomu, která vyžaduje T₀, a druhá, která to nevyžaduje.)
• X je R₀ neboli symetrický, pokud jakékoli dva topologicky rozlišitelné body v X jsou oddělené.
• X je T₁ neboli dostupný neboli Fréchetův neboli Tichonovův, pokud jakékoli dva různé body v X jsou oddělené. Ekvivalentně každá jednobodová množina je uzavřená. X je tedy T₁ právě tehdy, když je zároveň T₀ a R₀. (Přestože je možné říkat takové věci jako „T₁ prostor“, „Fréchetova topologie“, a „předpokládejme, že topologický prostor X je Fréchetův“; nepoužívejte v tomto kontextu název „Fréchetův prostor“, protože tento název se používá ve funkcionální analýze pro zcela odlišný objekt.)
• X je R₁ neboli preregulární, pokud jakékoli dva topologicky rozlišitelné body v X jsou oddělený okolími. Každý R₁ prostor je také R₀.
• X je Hausdorffův neboli T₂ neboli oddělený, pokud jakékoli dva různé body v X jsou oddělené okolími. X je tedy Hausdorffův právě tehdy, když je zároveň T₀ a R₁. Každý Hausdorffův prostor je také T₁.
• X je T_2½ neboli Urysohnův, pokud jakékoli dva různé body v X jsou oddělené uzavřenými okolími. Každý T_2½ prostor je také Hausdorffův.
• X je úplně Hausdorffův neboli úplně T₂, pokud jakékoli dva různé body v X jsou oddělené spojitou funkcí. Každý úplně Hausdorffův prostor je také T_2½.
• X je regulární, pokud, je-li dán jakýkoli bod x a uzavřená množina F v X tak, že x nepatří do F, jsou oddělené okolími. (Neboli v regulárním prostoru jakákoli taková x a F budou také oddělena uzavřenými okolími.) Každý regulární prostor je také R₁.
• X je regulární Hausdorffův neboli T₃, pokud je T₀ a regulární.[1] Každý regulární Hausdorffův prostor je také T_2½.
• X je úplně regulární, pokud, je-li dán jakýkoli bod x a uzavřená množina F v X tak, že x nepatří do F, jsou oddělené spojitou funkcí. Každý úplně regulární prostor je také regulární.
• X je Tichonovův neboli T_3½, úplně T₃ neboli úplně regulární Hausdorffův, pokud je T₀ a zároveň úplně regulární.[2] Každý Tichonovův prostor je regulární Hausdorffův a zároveň úplně Hausdorffův.
• X je normální, pokud jakékoli dvě disjunktní uzavřené podmnožiny prostoru X jsou oddělené okolími. (Neboli prostor je normální právě tehdy, když jakékoli dvě disjunktní uzavřené množiny lze oddělit spojitou funkcí; toto je Urysohnovo lemma.)
• X je normální regulární, pokud je R₀ a zároveň normální. Každý normální regulární prostor je regulární.
• X je normální Hausdorffův neboli T₄, pokud je T₁ a zároveň normální. Každý normální Hausdorffův prostor je Tichonovův a zároveň normální regulární.
• X je úplně normální, pokud jakékoli dvě oddělené množiny jsou oddělený okolími. Každý úplně normální prostor je také normální.
• X je úplně normální Hausdorffův neboli T₅ neboli úplně T₄, pokud je úplně normální a zároveň T₁. Každý úplně normální Hausdorffův prostor je také normální Hausdorffův.
• X je Perfektně normální, pokud jakékoli dvě disjunktní uzavřené množiny jsou přesně oddělený spojitou funkcí. Každý perfektně normální prostor je také úplně normální.
• X je Perfektně normální Hausdorffův neboli T₆ neboli perfektně T₄, pokud je perfektně normální a zároveň T₁. Každý perfektně normální Hausdorffův prostor je také úplně normální Hausdorffův.

Následující tabulka sumarizuje oddělovací axiomy i vztahy mezi nimi: buňky které jsou sloučeny, reprezentují ekvivalentní vlastnosti, každý axiom implikuje vlastnosti v buňkách vlevo od něj, a je-li splněn axiom T₁, pak každý axiom také implikuje vlastnosti v buňkách nad ním (například všechny normální T₁ prostory jsou také úplně regulární).

Axiom T₀ je speciální v tom smyslu, že nemůže být pouze přidán k vlastnostem (takže úplně regulární plus T₀ je Tichonovův), ale musí být také odebrán od vlastností (takže Hausdorffův minus T₀ je R₁) ve zcela přesném smyslu; další informace jsou v článku Kolmogorovův kvocient. Aplikací na oddělovací axiomy dostaneme vztahy v tabulce vlevo dole. V této tabulce se přechází zprava doleva přidáním vlastnosti T₀, a zleva doprava odstraněním tohoto požadavku pomocí operace Kolmogorovova kvocientu. (Názvy v závorkách uvedené na levé straně této tabulky jsou obecně nejednoznačné nebo alespoň méně známé; jsou však použity v grafu níže.)

Hasseho graf oddělovacích axiomů.

Jiné vztahy mezi oddělovacími axiomy než splňování nebo nesplňování podmínky T₀ ukazuje graf vpravo. V tomto grafu je označení prostoru, který nesplňuje axiom T₀ vlevo od lomítka, a označení prostoru, který axiom T₀ splňuje vpravo od lomítka. Písmena vyjadřují zkratky takto: “P“ = „perfektně“, „C“ = „úplně“, „N“ = „normální“, a „R“ (bez dolního indexu) = „regulární“. Puntík znamená, že příslušný prostor nemá žádné speciální jméno. Pomlčka ve spodní části indikuje prázdnou podmínku.

Pomocí tohoto grafu je možné zkombinovat libovolné dvě vlastnosti tak, že postupujeme grafem nahoru, až se obě větve setkají. Pokud například prostor je úplně normální (“CN“) a zároveň úplně Hausdorffův (“CT₂“), pak procházíme oběma větvemi vzhůru, až najdeme místo „•/T₅“. Protože úplně Hausdorffovy prostory jsou T₀ (přestože úplně normální prostory jimi být nemohou), vezmeme T₀ stranu lomítka; úplně normální úplně Hausdorffův prostor je totéž jako T₅ prostor (jednoznačněji známý jako úplně normální Hausdorffův prostor, jak je vidět v tabulce výše).

Z grafu je vidět, že normální a R₀ současně znamená splnění jiných vlastností, protože kombinování dvou vlastností vyžaduje průchod pravou větví. Protože z nich je nejznámější regulárnost, prostory, které jsou normální i R₀ se obvykle nazývají „normální regulární prostory“. Podobně prostory, které jsou normální i T₁, se často nazývají „normální Hausdorffovy prostory“, aby se zabránilo nejednoznačnosti v „T“ notaci. Tyto konvence lze zobecnit na jiné regulární prostory a Hausdorffovy prostory.

Existují i jiné podmínky kladené na topologické prostory, které jsou někdy klasifikovány jako oddělovací axiomy, ty se však k obvyklým oddělovacím axiomům nedají úplně zařadit. Jiný než jejich definice zde nejsou diskutovány; viz jednotlivé jim věnované články.

• X je střízlivý, pokud pro každou uzavřenou množinu C, která není (případně nedisjunktním) sjednocením dvou menších uzavřených množin, existuje jediný bod p takový, že uzávěr jednoprvkové množiny {p} se rovná C. Stručněji každá ireducibilní uzavřená množina má jediný generický bod. Jakýkoli Hausdorffův prostor musí být střízlivý, a jakýkoli střízlivý prostor musí být T₀.
• X je slabě Hausdorffův, pokud obraz každého spojitého zobrazení f na X z kompaktního Hausdorffova prostoru je uzavřený v X. Jakýkoli Hausdorffův prostor musí být slabě Hausdorffův, a jakýkoli slabě Hausdorffův prostor musí být T₁.
• X je semiregulární, pokud regulární otevřené množiny tvoří bázi topologického prostoru pro otevřené množiny prostoru X. Jakýkoli regulární prostor musí také být semiregulární.
• X je kvaziregulární, pokud pro jakoukoli neprázdnou otevřenou množinu G existuje neprázdná otevřená množina H taková, že uzávěr H je obsažen v G.
• X je plně normální, pokud každé pokrytí má otevřené hvězdičkové zjemnění. X je plně T₄ nebo plně normální Hausdorffův, pokud je T₁ a plně normální. Každý plně normální prostor je normální a Každý plně T₄ prostor je T₄. Navíc můžeme ukázat, že Každý plně T₄ prostor je parakompaktní. Vlastně, plně normální prostory skutečně mají více společné s parakompaktností než s obvyklými oddělovacími axiomy.
• Síla podmínky, aby všechny kompaktní podmnožiny byly uzavřené, je mezi T₁ a T₂ (Hausdorffův). Prostor vyhovující této podmínce je nutně T₁, protože každá jednobodová množina je nutně kompaktní a tedy uzavřená, ale opačné tvrzení není nutně pravdivé; pro kofinitní topologii na nekonečně mnoha bodech, která je T₁, je každá podmnožina kompaktní, ale ne každá podmnožina je uzavřená. Navíc každý T₂ (Hausdorffův) prostor vyhovuje axiomu, že všechny kompaktní podmnožiny jsou uzavřené, ale opačné tvrzení není nutně pravdivé; pro kospočetnou topologii na nespočetně mnoha bodech jsou kompaktní množiny vesměs konečné a tedy všechny uzavřené, ale prostor není T₂ (Hausdorffův).