Centrální moment

K-tý centrální moment náhodné veličiny ${\displaystyle X}$ je definován vzorcem

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}$,

kde ${\displaystyle \mu }$ je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

${\displaystyle \mu _{k}=\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\mu )^{k}p_{i}}$,

kde ${\displaystyle p_{i}}$ je pravděpodobnost, že ${\displaystyle X}$ nabývá hodnoty ${\displaystyle x_{i}}$.

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\operatorname {d} x}$,

kde ${\displaystyle f(x)}$ je hustota rozdělení dané veličiny.

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

${\displaystyle \mu _{k}\left(X+c\right)=\mu _{k}(X)}$

Pro násobení konstantou platí

${\displaystyle \mu _{k}\left(cX\right)=c^{k}\mu _{k}(X)}$

Pro ${\displaystyle k\leq 3}$ a nezávislé náhodné veličiny ${\displaystyle X,Y}$ platí

${\displaystyle \mu _{k}\left(X+Y\right)=\mu _{k}(X)+\mu _{k}(Y)}$

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

${\displaystyle \mu _{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}\mu ^{k-i}\mu _{i}^{\prime }}$,

kde ${\displaystyle \mu }$ je střední hodnota a ${\displaystyle \mu _{i}^{\prime }}$ je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{k}}$

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{2}&={\frac {n}{n-1}}k_{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}\\M_{3}&={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)}}m_{3}\\M_{4}&={\frac {n^{2}}{(n-1)(n-2)(n-3)}}(n+1)m_{4}-3(n-1)m_{2}^{2}\\\end{aligned}}}$