Rovina

Obecná rovnice roviny má tvar

${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,\!}$,

kde koeficienty ${\displaystyle a,\,b,\,c\,\!}$ nejsou současně nulové a jsou to koeficienty normálového vektoru roviny (vektoru kolmého k rovině). Proměnné ${\displaystyle x,\,y,\,z\,\!}$ jsou souřadnice bodu ležícího v rovině.

V případě, že známe tři body ${\displaystyle K,\,L,\,M}$ určující rovinu, obecnou rovnici roviny získáme takto: spočteme vektory ${\displaystyle {\overrightarrow {KL}}}$ a ${\displaystyle {\overrightarrow {KM}}}$, vypočítáme jejich Vektorový součin ze kterého získáme koeficienty ${\displaystyle a,\,b,\,c\,\!}$ a napíšeme obecnou rovnici. Zbývající koeficient d získáme tak, že dosadíme souřadnice bodu K (nebo kteréhokoli jiného bodu ze zadání) do napsané rovnice.

Parametrické vyjádření roviny má například vektorový tvar ${\displaystyle X=A+tu+sv\,\!}$, který se dá rozepsat dle složek takto:

${\displaystyle x=A_{1}+tu_{1}+sv_{1}\,\!}$

${\displaystyle y=A_{2}+tu_{2}+sv_{2}\,\!}$

${\displaystyle z=A_{3}+tu_{3}+sv_{3}\,\!}$,

kde ${\displaystyle s,\,t\in R\,\!}$ a ${\displaystyle X\,\!}$ je bod, který leží v rovině a vektory ${\displaystyle u\,\!}$ a ${\displaystyle v\,\!}$ jsou nekolineární vektory ležící v rovině, tzn. jsou to směrové vektory roviny.

Úsekovou rovnici roviny zapisujeme jako

${\displaystyle {\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=1}$,

kde ${\displaystyle p,\,q,\,r}$ vymezují úseky vyťaté rovinou na osách ${\displaystyle x,\,y,\,z\,\!}$.

Srovnáním úsekové a obecné rovnice dostáváme ${\displaystyle p=-{\frac {d}{a}},\,q=-{\frac {d}{b}},\,r=-{\frac {d}{c}}\,\!}$.

Normálová rovnice roviny má tvar

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma +p=0\,\!}$,

kde ${\displaystyle p\,\!}$ je vzdálenost počátku souřadného systému od roviny, tj. délka normály od počátku souřadnicového systému do průsečíku s rovinou,
${\displaystyle \cos \alpha ,\,\cos \beta ,\,\cos \gamma \,\!}$ jsou směrové kosiny roviny,
${\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,\!}$ představují úhly, které svírají kladné souřadnicové poloosy s normálou roviny.
Normála je směrnice kolmá ve všech směrech k rovině.
Směrové kosiny lze vyjádřit z obecné rovnice jako

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {a}{\varepsilon {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {b}{\varepsilon {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {c}{\varepsilon {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}}$

kde ${\displaystyle \varepsilon =1\,\!}$ pro ${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)=-1\,\!}$ a pro ${\displaystyle \varepsilon =-1\,\!}$ pro ${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)=1\,\!}$.