Nadreálné číslo

Hra (v kombinatorické teorii her) je uspořádaná dvojice množin her. Tato definice nám pomůže v definici nadreálných čísel, jelikož taková čísla jsou právě některé takto definované hry.

Nyní potřebujeme specifickou relaci na hrách: budiž ${\displaystyle (x^{L},x^{P})}$ a ${\displaystyle (y^{L},y^{P})}$ dvě hry. Potom řekneme, že ${\displaystyle x\leq y}$, pokud

${\displaystyle (\forall l\in x^{L})(l\ngeq y)\land (\forall p\in y^{P})(x\ngeq p)}$

Tato relace na hrách tvoří částečné uspořádání: je transitivní, reflexivní a antisymetrická, ale existují dvojice her x, y, pro které neplatí ani x ≤ y, ani y ≤ x, jsou neporovnatelné. Dá se dokázat, že nadreálná čísla jsou mezi sebou porovnatelná vždy.

Nadreálné číslo je taková hra (x^L, x^P), kde ${\displaystyle (\forall l\in x^{L})(\forall p\in x^{P})(p\nleq l)}$ a kde jsou všechny prvky levé i pravé množiny dříve definovanými nadreálnými čísly. Tuto definici můžeme chápat tak, že nadreálné číslo určujeme nějakými čísly, které jsou menší a které jsou větší. Nemůžeme si je vybírat úplně libovolně, to viz dál, protože univerzum konstruujeme v krocích, ale musí platit, že v levé množině musí být čísla ostře menší, než v té pravé, jinak by pro sebe definované číslo nemělo „místo“.

O dvou nadreálných číslech x, y povíme, že se rovnají, pokud platí x ≤ y a zároveň y ≤ x, psát v takovém případě budeme x = y. Je zřejmé, že takto definovaná relace rovnosti je ekvivalence.

Základním obratem při definování a dokazování vlastností nadreálných čísel je (transfinitní) matematická indukce: nová čísla vytváříme z čísel definovaných dříve. Pro začátek máme prázdnou množinu ${\displaystyle \emptyset }$, ze které vytvoříme uspořádanou dvojici ${\displaystyle (\emptyset |\emptyset )}$: toto číslo budeme označovat jako nulu, 0.

Nula je jistě hra, protože je to dvojice množin her, byť prázdných. Nula je také nadreálné číslo, protože neexistují žádné dva prvky, na kterých by mohla výše uvedená podmínka na nerovnost selhat.

V další generaci můžeme vytvořit tři nová čísla: ${\displaystyle (0|\emptyset )}$, ${\displaystyle (\emptyset |0)}$ a ${\displaystyle (0|0)}$. První dvě jsou jistě také čísla, poslední číslo není, jelikož by muselo platit, že ${\displaystyle 0\nleq 0}$, což pravda není. Protože platí ${\displaystyle 0\leq (0|\emptyset )}$, nazveme toto číslo 1, protože platí ${\displaystyle (\emptyset |0)\leq 0}$, nazveme jej -1.

Nadreálné číslo inverzní vzhledem ke sčítání, neboli číslo záporné, definujeme pro ${\displaystyle x=(x^{L}|x^{P})}$ jako ${\displaystyle -x=(-x^{P}|-x^{L})}$.

Sčítání nadreálných čísel je definováno takto:

${\displaystyle x+y=(x^{L}+y,x+y^{L}|x^{P}+y,x+y^{P})}$

Snadno se dokáže, že 0+x=x, x+y=y+x a podobná základní pravidla, která by se od sčítání dala čekat, platí. Proč je definice zrovna taková? Vychází z přirozeného požadavku na součet dvou sčítanců: měl by být větší, než je součet levého sčítance s libovolným číslem menším, než je pravý sčítanec, stejně tak by měl být větší, než je součet pravého sčítance s libovolným číslem menším, než je levý sčítanec. A podobně symetricky by měl být menší, než…

Násobení nadreálných čísel budiž definováno takto:

${\displaystyle x\cdot y=(x^{L}\cdot y+x\cdot y^{L}-x^{L}\cdot y^{L},x^{R}\cdot y+x\cdot y^{R}-x^{R}\cdot y^{R}|x^{L}\cdot y+x\cdot y^{R}-x^{L}\cdot y^{R},x^{R}\cdot y+x\cdot y^{L}-x^{R}\cdot y^{L})}$

Podobně jako u sčítání lze indukcí snadno dokázat pravdivost základních tvrzení, jako je ${\displaystyle x\cdot 1=x}$, ${\displaystyle x\cdot 0=0}$, ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$, atp.

Ačkoliv definice násobení vypadá složitá, je opět důsledkem jednoduchého, přirozeného odvození, které vyjádříme matematickou notací:

${\displaystyle ((x^{L}-x)<0)\wedge ((y^{L}-y)<0)\Rightarrow (x^{L}-x)(y^{L}-y)<0\Rightarrow xy<x\cdot y^{L}+y\cdot x^{L}-x^{L}\cdot y^{L}}$

Důsledkem těchto definic je fakt, že nadreálná čísla tvoří těleso. Podobně jako čísla reálná nejsou nadreálná čísla algebraicky uzavřená, ale postupem stejným jako u čísel reálných (tj. zavedením imaginární jednotky) lze takto tato čísla zúplnit.