Náhodný graf

Pod pojmem Erdős-Rényi model se rozumí buď model G(n,p) nebo velmi podobný model G(n,m). Zatímco model G(n,p) je z matematického hlediska ve většině případů jednodušeji analyzovatelný, byl to model G(n,m), který byl popsán v původním článku Erdőse a Rényiho z roku 1959. Gilbert ve svém článku popsal model G(n,p).

Pro přirozené číslo n a číslo p, 0≤p≤1, je můžeme definovat náhodný graf G(n,p) jako graf na množině vrcholů {1,…,n} do kterého je každý možný pár vrcholů vložen jako hrana s pravděpodobností p (a tyto hrany jsou vloženy nezávisle). Náhodný graf G(n,0.5) odpovídá uniformní distribuci na množině všech grafů s množinou vrcholů {1,…,n}.

Pro přirozené číslo n a m, ${\textstyle 0\leq m\leq {n \choose 2}}$, definujeme náhodný graf G(n,m) jako graf na množině vrcholů {1,…,n} do kterého je vložena náhodná množina m hran. Modely G(n,p) a G(n,m) pro ${\textstyle m=p{n \choose 2}}$ se chovají přibližně pomalu, neboť realizace náhodného grafu G(n,p) bude mít podle zákona velkých čísel s velkou pravděpodobností přibližně

${\textstyle p{n \choose 2}}$ hran.

Mezi nejdůležitější oblasti v teorii náhodných grafů patří studium prahových funkcí monotónních grafových vlastností. Místo formální definice uveďme příklad. Pro libovolné ${\displaystyle \epsilon >0}$ platí, že pro ${\textstyle p_{1}={\frac {(1-\epsilon )\log n}{n}}}$, náhodný graf ${\displaystyle G(n,p_{1})}$ asymptoticky skoro jistě není hamiltonovský, zatímco pro ${\displaystyle p_{2}={\frac {(1+\epsilon )\log n}{n}}}$, náhodný graf ${\displaystyle G(n,p_{2})}$ asymptoticky skoro jistě hamiltonovský je.[3] Jinak řečeno, pro n jdoucí do nekonečna je limita pravděpodobnosti, že je ${\displaystyle G(n,p_{1})}$ hamiltonovský 0, zatímco ta stejná limita je 1 pro ${\textstyle G(n,p_{2})}$. Podobná prudká změna chování se projevuje vzhledem k mnoha přirozeným grafovým vlastnostem a je popsána Friedgutovou větou.[4]

Podobně jako v uvedeném příkladu hamiltonovskosti se ve většině praktických modelů stejně jako ve většině matematické teorie uvažuje režim kdy p jde k nule podle zvolené funkce v n.

Vlastnosti Erdős-Rényi náhodných grafů inspirovaly koncept kvazináhodných grafů.[5]

K rozvoji teorie náhodných grafů přispěli zejména Paul Erdős, Béla Bollobás a Alan Frieze.

Jiné modely náhodných grafů zahrnují model náhodných stromů, model náhodných regulárních grafů a Barabási–Albertův model náhodných bezškálových sítí. Barabási–Albertův model v mnoha případech může lépe vystihovat reálný model (sociální sítě, epidemiologie, ...). Náhodné grafy je možno vnímat jako speciální třídu perkolačních modelů.

Podobným způsobem jako náhodné grafy lze zavést náhodné k-uniformní hypergrafy a další náhodné struktury.