Matice koeficientů

Soustavu m lineárních rovnic s n neznámými lze obecně zapsat ve tvaru

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\,}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\,}$

${\displaystyle \quad \vdots \,}$

${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\,}$

kde ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$ jsou neznámé a čísla ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$ jsou koeficienty soustavy. Matice koeficientů je matice m × n, jejíž prvky (i, j) jsou koeficienty ${\displaystyle a_{ij}}$:[1]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Výše uvedenou soustavu rovnic pak lze vyjádřit stručněji jako

${\displaystyle Ax=b}$

kde A je matice koeficientů a b je sloupcový vektor konstantních členů.

Podle Frobeniovy věty je soustava rovnic nekonzistentní, což znamená, že nemá žádné řešení, pokud hodnost r rozšířené matice soustavy (matice koeficientů rozšířené o sloupec tvořený vektorem b) je větší než hodnost matice koeficientů. Pokud jsou naopak hodnosti obou matic stejné, má soustava alespoň jedno řešení. Řešení je jednoznačné právě tehdy, když hodnost r se rovná počtu proměnných n. Jinak má obecné řešení n – r volných parametrů; v takovém případě existuje nekonečně mnoho řešení, která dostaneme tak, že n – r proměnným přiřadíme libovolnou hodnotu a spočítáme jediné řešení výsledné soustavy; různé volby, kterým proměnným přiřadíme hodnoty a jaké tyto hodnoty budou, dávají různá řešení soustavy.

Maticová diferenční rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${\displaystyle y_{t+1}=Ay_{t}+c,}$

kde A je matice n × n a y a c jsou vektory n × 1. Tato soustava konverguje k ustálenému stavu úrovně y právě tehdy, když absolutní hodnoty všech n vlastních čísel matice A jsou menší než 1.

Maticová diferenciální rovnice prvního řádu s konstantním členem má tvar

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=Ay(t)+c.}$

Tato soustava je stabilní právě tehdy, když všech n vlastních čísel matice A má záporné reálné části.