Lineární programování

Úlohou lineárního programování je následující optimalizační úloha

${\displaystyle \min _{x\in M}c^{T}x,}$

přičemž:

• ${\displaystyle c^{T}x}$ označuje skalární součin vektorů c, x.
• množina přípustných řešení M je popsána soustavou

${\displaystyle Ax=b,\quad x\geq 0,}$

kde A je matice rozměru m × n, b je m-rozměrný vektor a c, x jsou n-rozměrné vektory. Součin Ax označuje součin matic.

1. Množina M představuje geometricky konvexní mnohostěn.
2. Optimální řešení úlohy (pokud existuje) leží ve vrcholu, popř. celé stěně konvexního polyedru M.
3. Existují speciální úlohy v rámci lineárního programování, např. dopravní problém.
4. Duální úloha k původní (tzv. primární) úloze je ve tvaru

${\displaystyle \max _{y\in N}b^{T}y,\quad N=\{y\in \mathbb {R} ^{m}\mid A^{T}y\leq c\}}$

.

Nejznámější algoritmus na řešení úlohy lineárního programování je tzv. simplexový algoritmus (původem od G. B. Dantziga z roku 1951). Existují ale i jiné, asymptoticky rychlejší algoritmy, např. elipsoidová metoda (od L. Khachiyana z roku 1979), metoda vnitřních bodů (od N. Karmarkara z roku 1984).