Einsteinova konvence

V mechanice a inženýrství se často vektor v 3D prostoru popisuje pomocí ortogonálních jednotkových vektorů i, j a k.

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} }$

Jestliže bázové vektory i, j, a k vyjádříme (přejmenujeme) jako e₁, e₂, a e₃, lze vektor vyjádřit pomocí sumace:

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}\mathbf {e} _{i}}$

V Einsteinově notaci, pokud se nějaký index v rovnici opakuje dvakrát, implikuje to sumaci, a sumační symbol je možné vynechat.

Tato notace umožňuje zestručnit algebraickou reprezentaci vektorových a tenzorových rovnic. Například

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}=u_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot v_{j}\mathbf {e} _{j}}$

nebo ekvivalentně:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j})=u_{i}v_{j}(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j})}$

kde

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$

a ${\displaystyle \ \delta _{ij}}$ je Kroneckerovo delta, které je rovno 1 když i = j, a 0 jindy. Logicky vyplývá, že jedno j v rovnici může být převedeno na i, nebo jedno i může být převedeno na j. Pak

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v_{j}\delta _{ij}=u_{i}v_{i}=u_{j}v_{j}}$

Pro vektorový součin,

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{3}u_{j}\mathbf {e} _{j}\times \sum _{k=1}^{3}v_{k}\mathbf {e} _{k}=u_{j}\mathbf {e} _{j}\times v_{k}\mathbf {e} _{k}=u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}}$

kde ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}}$ a ${\displaystyle \ \varepsilon _{ijk}}$ Levi-Civitův symbol definovaný takto:

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}+1&{\mbox{pokud }}(i,j,k){\mbox{ je }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ nebo }}(3,1,2)\\-1&{\mbox{pokud }}(i,j,k){\mbox{ je }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ nebo }}(2,1,3)\\0&{\mbox{jinak: }}i=j{\mbox{ nebo }}j=k{\mbox{ nebo }}k=i\end{matrix}}\right.}$

což nahrazuje

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {e} _{1}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {e} _{2}+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {e} _{3}}$

z

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}}$.

Pokud označíme ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} }$, pak můžeme psát ${\displaystyle \mathbf {w} =\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}u_{j}v_{k}}$ a též pro jednotlivé složky ${\displaystyle \ w_{i}=\varepsilon _{ijk}u_{j}v_{k}}$. V posledním zápisu se index i objevuje pouze jednou na obou stranách rovnice, a proto se v tomto případě nejedná o součet, ale spíše o systém rovnic:

${\displaystyle {\begin{matrix}w_{1}=\varepsilon _{1jk}u_{j}v_{k}\\w_{2}=\varepsilon _{2jk}u_{j}v_{k}\\w_{3}=\varepsilon _{3jk}u_{j}v_{k}\end{matrix}}}$

Alternativně lze vektorový součin vyjádřit jako

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {u} \cdot \varepsilon \cdot \mathbf {v} }$

kde ${\displaystyle \varepsilon }$ je tenzorový zápis Levi-Civitova symbolu. Tota notace ale nepochází od Einsteina.

Uvažujme vektorový prostor V  s konečnou dimenzí n a určitou bázi V. Bázové vektory můžeme psát jako e₁, e₂, …, e_n. Pak jestliže v je vektor v prostoru V, má vzhledem k bázi souřadnice v₁, …, v_n.

Základní pravidlo:

v = v_i e_i.

V tomto příkladu se předpokládalo, že výraz na pravé straně byl sečten přes i  s hodnotami 1 až n, protože index i se neobjevuje na obou stranách výrazu. (Nebo, použijeme-li Einsteinovu konvenci, protože se index i  objevil dvakrát.)

Index i se také označuje jako nepravý index protože výsledek na něm nezávisí; tudíž můžeme také například psát :

v = v_j e_j.

Index, přes který se nesčítá, je volný index a může se vyskytnout v každém členu rovnice nebo výrazu.

Tam, kde se index musí objevit jednou jako dolní index a jednou jako horní index, si základní vektor e_i ponechá dolní index, ale souřadnice budou vⁱ s horním indexem. Pak základní pravidlo je:

v = vⁱ e_i.

Hodnota Einsteinovy konvence je také v tom, že se aplikuje k dalším vektorovým prostorům vystavěných z V  použitím tenzorového součinu a duality. Například ${\displaystyle V\otimes V}$, tenzorový součin V  se sebou samým, má bázi skládající se z tenzorů tvaru ${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$. Libovolný tenzor T v ${\displaystyle V\otimes V}$ lze psát jako:

${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}}$.

V*, duální prostor k V, má bázi e¹, e², …, eⁿ která splňuje pravidlo

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{i}^{j}}$.

Zde δ je Kroneckerovo delta, tak ${\displaystyle \delta _{i}^{j}}$ je 1 jestliže i =j  a 0 v ostatních případech.

Einsteinova sumace se stane jasnější s pomocí několika jednoduchých příkladů. Uvažujme čtyřrozměrný časoprostor, s indexy od 0 do 3 :

${\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}}$

${\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\mu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}.}$

Výše uvedený příklad je jedno ze zúžení, obecné tenzorové operace. Tenzor ${\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\alpha }}$ přejde do nového tenzoru sumací přes první horní a dolní index. Typicky je výsledný tenzor přejmenován pomocí odstranění zužovacích indexů :

${\displaystyle s^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }.}$

Podobný příklad - uvažujme skalární součin dvou vektorů a a b. Skalární součin je definován jednoduše jako suma přes indexy a a b:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{\alpha }b^{\alpha }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3},}$