Znaménko permutace

Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).

Permutaci si lze představit jako dvouřádkovou matici:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\sigma (d)\end{pmatrix}}}$

např. matice

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}}}$

má počet inverzí 0, proto bude znaménko +. Pro jinou permutaci

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}}}$

platí:

${\displaystyle 1<2<3<4;(1<3;1<4;2<4)}$, potom permutace:

${\displaystyle 2<3>1<4;(2>1;3>1)}$ - obě inverze jsou uvedené v závorce

má dvě inverze a znaménko bude +.

Znaménko permutace lze také vypočítat tak, že za n ve vzorci dosadíme počet cyklů sudé délky.

Permutaci zapsanou ve formě matice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&1&4\end{pmatrix}}}$

lze také zapsat pomocí cyklů:

${\displaystyle (1,2,3)(4)}$

Ze zápisu pomocí cyklů vidíme, že počet cyklů sudé délky je roven 0. Dosadíme tedy do vzorce:

sgn(σ) = (−1)⁰ = 1

výsledek je kladný, znaménko je tedy +.

Jsou-li ${\displaystyle \pi _{1}}$ a ${\displaystyle \pi _{2}}$ dvě permutace na množině ${\displaystyle M}$, pak znaménko permutace jejich složení je rovno součinu znamének jednotlivých permutací, tedy

${\displaystyle \operatorname {sgn} {(\pi _{1}\circ \pi _{2})}={\operatorname {sgn}(\pi _{1})}\;{\operatorname {sgn}(\pi _{2})}}$

Znaménko inverzní permutace je určeno jako

${\displaystyle \operatorname {sgn} \pi ^{-1}=\operatorname {sgn} \pi }$

Je-li permutace ${\displaystyle \pi }$ součinem nezávislých cyklů ${\displaystyle \pi =\pi _{1}\circ \pi _{2}\circ ...\circ \pi _{m}}$, kde každý z cyklů ${\displaystyle \pi _{i}}$ má délku ${\displaystyle k_{i}+1}$, pak

${\displaystyle \operatorname {sgn} \pi =\Pi _{i=1}^{m}{(-1)}^{k_{i}}={(-1)}^{\sum _{i=1}^{m}k_{i}}}$

• Patnáctka
• Transpozice (algebra)
• Funkce signum
• Levi-Civitův symbol